LintCode 不同的二叉查找树

不同的二叉查找树

给出 n，问由 1…n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？

给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：

1          3     3      2      1
\        /     /      / \      \
3      2     1      1   3      2
/      /       \                 \
2     1          2                 3

Solution：

对于该问题我们可以使用动态规划来求解。。对于动态规划问题我们需要确定问题的状态和状态转换方程。

首先我们来确定问题的状态：给定i(1≤i≤n)i ( 1 \le i \le n), 由1...i1 ... i组成的不同的二叉查找树有f(i)f(i)种。

因此，

当 i=1i = 1 时 , 只有一个节点，f(1)=1f(1) = 1.

当 i=2i = 2 时，存在两个节点1, 2。当以2作为根节点是只有1中，以1作为根节点时也只有1种，因此总共有2种。

当i=3i = 3 时，存在三个节点1，2，3。我们来进行详细的叙述。

以3根节点时。其它的节点1,2只能在左子树。及

3
/
{1, 2}, 此时就转换成了{1，2}有多少种二叉树。因此，3为根节点时有2中不同的二叉树

以2为根节点时，节点3只能在右子树，节点1只能在左子树。及

2
/ \
{1}  {3}, 由于左子树只有一个节点因此只有1种，同样右子树也只有1中。因此2为根节点有1x1=1种。

以1为根节点时，节点{2,3}只能在右子树。及

1
\
{2,3}, 此时就变成{2,3}有多少种二叉树{2，3}=f(2)。因此1为根节点有2种。

因此有f(3) = 2 + 1 + 2 = 5种。

分析到这里状态转换方程应该很容易写出来了吧?!

对于ii, 以k(1≤k≤i)k (1 \le k \le i)作为根节点, 左子树的节点为1,...,k−1{1, ..., k-1}共有k−1k-1个节点，右子树的节点为k+1,...,i{k+1, ..., i}共有i−ki-k个节点。因此，状态装换方程为

f(i)=∑ik=1f(k−1)×f(i−k)f(i) = \sum_{k=1}^{i}f(k-1)\times f(i-k)

注意：边界条件f(0)=1

上述等式还可以继续进行优化，这里不再详细叙述。详见代码.

public class Solution {
/**
* @paramn n: An integer
* @return: An integer
*/
public int numTrees(int n) {
// write your code here
int [] res = new int[n+1];
res[0] = 1;

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = i-1; j >= i/2; --j) {
if (i%2==1 && j == i/2)
res[i] += res[j] * res[i-j-1];
else
res[i] += res[j] * res[i-j-1]*2;
}
}
return res
;
}
}