#公式与实现# Jacobi迭代与五点迭代
2015-12-08 14:55
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之前一直不明白Jacobi迭代为什么是五点迭代,今天忽然想到这是二维泊松方程的求解,一切就豁然开朗。
Jacobi迭代基本形式:
$$x_i^{k + 1} = \frac{1}{2}\left( {{b_i} - \sum\limits_{j \ne i} {{a_{ij}}x_j^k} } \right)$$
详细推导见之前博客的引用链接。
对于二维泊松方程,x、y方向采用相同的步长,在x、y方向同时采用中心差分离散可得:
$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {x^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j})}}{{{h^2}}}$$
$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {y^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_i},{y_{j - 1}}) - u({x_i},{y_{j + 1}})}}{{{h^2}}}$$
带入二维Poisson方程即得Poisson方程在
(xi,yj)
点的近似离散方程
4ui, j − ui − 1, j − ui + 1, j − ui, j − 1 − ui, j + 1 = h2fi, j
其中
fi, j = f(xi, yj)
,
ui, j
为
u(xi, yj)
的近似。
Jacobi迭代基本形式:
$$x_i^{k + 1} = \frac{1}{2}\left( {{b_i} - \sum\limits_{j \ne i} {{a_{ij}}x_j^k} } \right)$$
详细推导见之前博客的引用链接。
对于二维泊松方程,x、y方向采用相同的步长,在x、y方向同时采用中心差分离散可得:
$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {x^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j})}}{{{h^2}}}$$
$${\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {y^2}}}} \right|_{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_i},{y_{j - 1}}) - u({x_i},{y_{j + 1}})}}{{{h^2}}}$$
带入二维Poisson方程即得Poisson方程在
(xi,yj)
点的近似离散方程
4ui, j − ui − 1, j − ui + 1, j − ui, j − 1 − ui, j + 1 = h2fi, j
其中
fi, j = f(xi, yj)
,
ui, j
为
u(xi, yj)
的近似。
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