将n划分成最大数不超过m的划分数
2015-12-07 16:34
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【问题描述】
将n划分成最大数不超过m的划分数,例如n=5,m=3,此时划分的情况为{2,3}{1,1,3}{2,1,2}{2,1,1,1}{1,1,1,1,1}共5种。输入两个数值,分别代表n 和 m 的值,输出为划分数
例如:
输入:5 3
输出:5
【分析问题】
首先我们先观察上面的那个n=5,m=3的例子,因为我一般做算法题采取的思路是,先找一个例子手动的算出来,联系学过的知识观察规律,再总计成算法,最后代码实现验证,再分析算法,想办法提高效率。我觉整个过程有点像归纳总结的过程。我们来看看这个例子的划分情况:{2,3}{1,1,3}{2,1,2}{2,1,1,1}{1,1,1,1,1},观察这个划分情况,首先想到的是:从{1,1,1,1,1}开始,依次生成划分,然后统计总共有多少种划分,即得到划分数。其实整个过程就是一个模拟划分的过程。大至这样想,感觉还行,但是着手自己实现算法时还是感觉难度比较大。
这样不行,我们就换个思路,想想自己以前有没有做过类似的例子,看看能不能从中得到启发。
我就发现n是我们要操作的数,而m是限制条件,这就让我想起了动态规划那一章学的0-1背包问题。我们也能不能构造一个类似的二维数组,其中一个下标表示要划分的数,一个表示限制条件。事实上,经过我的验证,我们这样的设想是对的。0-1背包有一递归方程,那么我们就思考怎么构造这个问题的递归方程。我们再回头观察我们n=5,m=3的那个例子,发现划分的情况中,有一部分是有3的,一部分是没有3的。我们就可以依m将问题分成两部分去求划分数,分别为:[n-m,m]和[n,m-1]。[n-m,m]表示有m部分划分数(n-m就表示m不会再被划分,反过来不就是有m部分的划分数),[n,m-1]表示没有m部分划分数(m-1是上线,划分中不可能比m-1大),最后将两部分加起来。上面这些都是我们假设,n>m。
当n<=m时,问题是比较简单的,m比n大,即就是对n没有约束,问题就可转换成求[n,n]的划分数,同样用n(限制条件)将问题划分成两部分,一部分包含n的,很明显就只有一种情况。另外一种情况,则是[n,n-1],最后将两部分加起来。
n>m和n<=m的情况我们都考虑完了,现在我们的考虑一下递归什么时候结束(边界条件)。可能出现的情况有两种:[1, x] 和 [x, 1],其中x表示任意数,不管现在划分的数是1,还是限制条件是1,其结果都是1。当然我们认为划分中中包含0的情况和没有包含0的情况一样。
【递推方程】
下面我们给出完整的递推方程:d
[m] : 表示将n划分成最大数不超过m的划分数
d[n][m]=⎧⎩⎨1d[n][n−1]+1d[n][m−1]+d[n−m][m]n = 1 或 m = 1 n<=mn>m
【实验代码】
代码使用c/c++编写#include <iostream> using namespace std; int getNum( int n, int m ) { if( 1 == n || 1 == m ) return 1; if( n <= m ) return getNum( n, n - 1 ) + 1; else return getNum( n, m - 1 ) + getNum( n - m, m ); } void main() { int n, m; cin >> n >> m; cout << getNum( n, m ) << endl; }
实验结果:
end
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