CF 334 div.2-D/div.1-B/603B Moodular Arithmetic

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/603/B

已知：f(k*x mod p)==k*f(x) mod p，对于一个从f：{0,1,2...p-1}→{0,1,2...p-1}的映射，问对于给定的p和k，有多少种满足已知等式的映射，答案对10^9+7取模。

已知：f(k*x mod p)==k*f(x) mod p，而且(a*b)%m=(a%m8b%m)%m。可以推出：f(k^2 *x mod p)==k^2 *f(x) mod p

进而可以推出，f(k^i *x mod p)==k^i *f(x) mod p。

当k=0时，有f(0)=f(0)，所以答案是p^(p-1) %(10^9+7)。

当k=1时，有f(x)=f(x)，所以答案是p^p %(10^9+7)。

当k=0时，显然ans=p^p-1;k=1时，ans=p^p。
k>=2时，由费马小定理得，k^p-1 ==1 mod p，所以必存在m(0<m<p)，使得k^m ==1 mod p,，
所以对k^1 mod p,k^2 mod p...k^m mod p各自对应m个不同的数，而后k^i mod p对任意0<i<p，必对应这m个数里的某一个，所以如果我们确定了f(n)，则f(k^1 * n mod p),f(k^2 * n mod p)...f(k^(m-1) * n mod p)也随之确定。所以，如果我们使f(n)对应(p-1)/m个数，那么我们就能得到所有p-1个非0的数，所以答案应该是p^[(p-1)/m]%(10^9+7)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define mod 1000000007
long long fastpow(long long a, long long b,long long c)
{
long long temp = a, res = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
res = res*temp%c;
temp = temp*temp%c;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main()
{
//freopen("input.txt", "r", stdin);
long long p, k, ans;
scanf("%I64d%I64d", &p, &k);
if (k == 0)
ans = fastpow(p, p - 1, mod);
else if (k == 1)
ans = fastpow(p, p, mod);
else
{
long long m = 1, x = k;
while (x != 1)
{
x = x*k%p;
++m;
}
ans = fastpow(p, (p - 1) / m, mod);
}
printf("%I64d\n", ans);
//system("pause");
//while (1);
return 0;
}