青蛙跳台阶

问题

1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。
2）一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析思路（1）
1）当n=1时，只有一种跳法；
2）当n=2时，有两种跳法；
3）当n=3时，有3种跳法
由数学归纳法可得如下递推公式：



分析思路(2)：
用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数1(n阶跳)，设定Fib(0) =1；

当n= 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) =1;

当n= 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2)= Fib(1) + Fib(0) = 2;

当n= 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

当n= n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.

Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)è Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2

递归等式如下：



代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int Fib1(int n)
{
if(n <= 0)
{
cout<<"error!"<<endl;
return -1;
}

if(1 == n)
return 1;
else if(2 == n )
return 2;
else
return Fib1(n-1) + Fib1(n-2);
}
int Fib2(int n)
{
if(n < 0)
{
cout<<"error!"<<endl;
return -1;
}

if(0 == n)
return 1;
else if(1 == n )
return 1;
else
return 2*Fib2(n-1);
}

int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<"共有跳法: "<<Fib1(n)<<endl;
cout<<"共有跳法: "<<Fib2(n)<<endl;
return 0;
}