维护堆性质中，堆（完全二叉树）中i结点的子树大小至多为2n/3的证明

思路源自于：

http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon,board,Algorithm,reid,1242723801,file,M.1242723801.A.html

在理解维护堆性质时，算法导论上面只简单提了一下子树的大小为2n/3，不明白，从网上理解得到如下结论。

已知：

当堆是满二叉树时：（ceiling表示其最大值）

最底层的元素个数为ceiling(n/2)个，这层高度为0；

倒数第二层元素个数为ceiling(n/4)个，高度为1；

倒数第三层元素个数为ceiling(n/8)个，高度为2；

如此类推，高度为h的，在倒数第h + 1层，元素个数为ceiling(n / 2^(h + 1))。

注意：高度是从最底层算起，最底层为0，而深度是从最高层算起，根节点处为高度0.

证明如下：

规定总size为n，要求根的左子树的最大size。（由于右子树size总是<=左子树size）。那么显然，观察最底层节点数目为0, 1, 2…的情况，显然半满的时候左子树达到了最大。半满定义：最底层的叶子节点个数=满二叉树的一半，且底层半满的元素都在左子树上面。以下求此时左子树的大小：

设底层半满时节点数为y，则再加y个节点，就是满树，并且根据满二叉树的特点—若底层元素个数为x,则元素总数为2x-1.

由此得到：n + y = (2y) * 2 - 1 = 满树size，可得n = 3y - 1。

满树时，左子树节点数 = (满树size - 1) / 2 = (4y-1)/2=2y= 2n / 3=堆(完全二叉树)中左子树节点数。