大整数乘法 ------分治法

  

      通常，在分析一个算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当作是基本运算来处理，

  设x和y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段,每段的长为n／2

位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图所示。

                                 


   计算公式如下：

                          


它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。

算法描述

    A：＝X的左边n／2位；

    B：＝X的右边n／2位； 

    C：＝Y的左边n／2位， 

    D：＝Y的右边n／2位， 

   m1：＝MULT(A，C，n／2)；

   m2：＝MULT (A-B，D-C，n／2)；

   m3：＝MULT(B，D，n／2)；

    S：＝S*(m1*2^n＋(m1＋m2＋m3)*2^(n/2)+m3)；

具体实现代码如下：

#include<math.h>

#include<iostream>

using namespace std;

/************************************************************************/

//函数功能：分治法求两个N为的整数的乘积

//输入参数：X,Y分别为两个N为整数

//算法思想：

//时间复杂度为：T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)

/************************************************************************/

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1)

int IntegerMultiply(int X, int Y, int N)

{
int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
int x = abs(X);
int y = abs(Y);
if((0 == x) || (0 == y))
return 0;
if (1 == N)
return x*y;
else
{
int XL = x / (int)pow(10., (int)N/2); //  x/10^N/2
int XR = x - XL * (int)pow(10., N/2);//x-XL*10^N/2
int YL = y / (int)pow(10., (int)N/2);
int YR = y - YL * (int)pow(10., N/2);

int XLYL = IntegerMultiply(XL, YL, N/2);//XL*YL
int XRYR = IntegerMultiply(XR, YR, N/2);//XR*YR
int XLYRXRYL = IntegerMultiply(XL - XR, YR - YL, N/2) + XLYL + XRYR;//(XL-XR)(YR-YL)+XRYR
return sign * (XLYL * (int)pow(10., N) + XLYRXRYL * (int)pow(10., N/2) + XRYR);
}

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

  
int x = 1234;
int y = 4321;
cout<<"x * y = "<<IntegerMultiply(x, y, 4)<<endl;
return 0;

}