初识汉诺塔问题

汉诺塔

若给汉诺塔传说中三根柱子分别用英文字母a,b,c命名，其中只有a柱子摆放n片圆盘(1<=n<=100000), 若要把a柱子上的所有圆盘转移到c柱子上，问最少需要移动多少次圆盘。

移动圆盘的规则如下：

每次只能移动一片圆盘

直径大的圆盘必须摆放在直径小的圆盘之上

递归求解

汉诺塔问题通过简单的递归进行求解，代码比较简洁，通俗易懂。其实汉诺塔问题的移动次数是有规律可寻的，通过递归代码找出相应的规律，并通过数学方法得到结果效率才是最高的。

当n=1时，a柱子只有一个圆盘，直接移至c柱

当n>1时，根据规则1和2，将a柱子n-1个圆盘移动到b柱子，然后将a剩下的一个圆盘移动到c，接着再把b上暂时放着的n-1个圆盘移动到c

递归求解其实就是不断降低问题规模的过程，将b柱子的n-1个圆盘移至c何尝不重复上述两点的过程。递归求解的C代码如图3-1所示。

void Hanoi(int n, char a, char b, char c)
{
if(n == 1)
{
Move(a, c);
}
else
{
Hanoi(n-1, a, c, b); /*将a柱子n-1个圆盘移动到b柱子*/
Move(a, c);　　　　　　/*将a剩下的一个圆盘移动到c*/
Hanoi(n-1, b, a, c); /*再把b上暂时放着的n-1个圆盘移动到c*/
}
}

void Move(char a, char b)
{
printf("Move 1 disk: %c ---------> %c\n", a, b);
}

图3-1 汉诺塔递归求解代码

如图3-1的代码可以得出汉诺塔移动圆盘次数的递推关系：

Hanoi(n) = 1 , n =1 ;

Hanoi(n) = 2 * Hanoi(n-1) + 1, n>1;

令b(n) = Hanoi(n)+1，可以得出b(n)是一个以2为底，公比为2的等比数列。由此可得，

b(n) = 2n， n>0

Hanoi(n) = 2n - 1, n>0

增加约束条件的汉诺塔

同理使用递归求解，根据原有规则和新增约束条件，推导出移动圆盘的次数的规律。

当n=1时，a柱子只有一个圆盘，先移到b，再移至c

当n>1时，先将a柱的n-1个圆盘通过b柱移至c柱，再将a柱子剩下的一个圆盘移到b; 接着把c柱n-1个圆盘通过b柱移到a; 然后把b柱子目前唯一的圆盘移至c，最后把a柱子的n-1个圆盘通过b移至c

递归代码如图3-2所示。

void Hanoi(int n, char a, char b, char c)
{
if(n==1)
{　　　　　　　　　　　　　　//a柱子只有一个圆盘，先移到b，再移至c
Move(a, b);
Move(b, c);
}
else
{
Hanoi(n-1, a, b, c); //先将a柱的n-1个圆盘通过b柱移至c柱
Move(a, b);          //a柱子剩下的一个圆盘移到b
Hanoi(n-1, c, b, a); //把c柱n-1个圆盘通过b柱移到a
Move(b, c);          //把b柱子目前唯一的圆盘移至c
Hanoi(n-1, a, b ,c); //把a柱子的n-1个圆盘通过b移至c
}
}
void Move(char a, char b)
{
printf("%c --> %c\n", a, b);
}

图3-2 增加约束条件的汉诺塔递归代码

由图3-2可得，移动圆盘次数与圆盘个数的递推关系，

当n=1时，Hanoi(n) = 2;

当n>1时，Hanoi(n) = 3 * Hanoi(n-1) + 2;

最后求得：

Hanoi(n) = 3n - 1, n>0

高阶整数幂取模

因此TOJ 3270这道题目转化为求 (3n - 1) % 1000000007的数学问题。对高阶整数幂取模运算，可以通过除幂处理。题目的代码如图3-3所示。

#include <stdio.h>
const long long p = 1000000007;

long long power(long long x, long long n)
{//
if( n == 0)
return 1;
else if(n == 1)
return x;
else
{
long long tmp = power(x, n/2);
if( n % 2 == 1)
return tmp * tmp * x % p;  // 若 n 为奇，3n = 3 * 3n/2 * 3n/2
else
return tmp * tmp % p;      // 若 n 为偶，3n = 3n/2 * 3n/2
}
}

int main()
{
long long n;
while(scanf("%lld", &n) && n)
{
printf("%lld\n", power(3, n)-1);
}
return 0;
}

图3-3 TOJ 3270 Strange Hanoi Tower的参考代码

思考：为什么得到的结果要取模？

有兴趣的读者可以阅读神奇的费马小定理这篇文章。