冲激函数和傅里叶变换

冲激函数具有很好的取样特性，使得其在信号处理、图像处理等方面有着广泛的应用. 在这边文章中，我们介绍冲激函数和它的傅里叶变换. 文章的内容主要参考Rafael C. Gonzalez和Richard E. Woods所著的《数字图像处理》.

1. 冲激函数定义

定义1 连续变量t在t=0点处的冲激函数δ(t)定义为

δ(t)={∞,0,t=0t≠0

其满足等式

∫∞−∞δ(t)dt=1.

假设f(t)在t=0处是连续的，则冲激具有如下的取样特性

∫∞−∞f(t)δ(t)dt=f(0).

更一般地，位于任意点t=t0的冲激表示为δ(t−t0). 在这种情况下，取样特性为

∫∞−∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0).

定义2 对于离散变量x，单位离散冲激函数δ(x)定义为

δ(x)={1,0,x=1x≠0

其满足等式

∑x=−∞∞δ(x)=1.

离散冲激具有取样特性

∑x=−∞∞f(x)δ(x)=f(0).

更一般地，在x=x0处的取样特性为

∑−∞∞f(x)δ(x−x0)=f(x0).

定义3 冲激串SΔT(t)是无限多个分离的周期为ΔT的冲激之和，即

SΔT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nΔT)

其中，冲激δ(t)可以是连续的或离散的.

2. 傅里叶级数和傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

令i2=−1. 函数族{ei2πkt/T}∞k=0在区间[−T2,T2]上具有如下正交性

∫T2−T2ei2πnt/T⋅e−i2πmt/Tdt={T,0,n=mn≠m

据此，我们可以将周期为T的函数f(t)表示为傅里叶级数的形式.

定义4 假定函数f(t)为周期为T的连续函数，则f(t)可以表示为如下傅里叶级数形式

f(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/T

其中

cn=1T∫T2−T2f(t)e−i2πnt/Tdt,n=0,±1,±2,….

2.2 傅里叶变换

定义5 连续函数f(t)的傅里变换为

f(t)−→FF(μ)=∫∞−∞f(t)e−i2πμtdt

相反地，给定F(μ)，我们可以通过傅里逆变换得到f(t)

F(μ)−→−−F−1f(t)=∫∞−∞F(μ)ei2πμtdμ

由傅里叶变换和傅里叶逆变换的对称性，我们得到如下性质

性质1 >f(t)−→FF(μ)−→Ff(−t)

3. 冲激和冲激串的傅里叶变换

3.1 冲激的傅里叶变换

位于原点的冲激函数δ(t)（见定义1）的傅里叶变换为

F(μ)=∫∞−∞δ(t)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t)dt=e−i2πμ0=e0=1

类似地，位于t=t0处的冲激δ(t−t0)的傅里叶变换为

F(μ)=∫∞−∞δ(t−t0)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t−t0)dt=e−i2πμt0

由前面的性质1 和冲激的性质，我们可以得到如下性质

性质2

F(ei2πμt0)=δ(−t+t0)=δ(t−t0)

3.2 冲激串的傅里叶变换

冲激串SΔT(t)（见定义3）是周期为ΔT的函数，可以表示为如下傅里叶级数（见定义4）

SΔT(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/ΔT

其中

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt

由于在区间[−ΔT2,ΔT2]的积分仅包含位于原点的冲激δ(t)，因此

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt=1ΔTe0=1ΔT

从而得到冲激串的傅里叶级数

SΔT(t)=1ΔT∑n=−∞∞ei2πnt/ΔT

进一步地，由性质2可知

F(ei2πnt/ΔT)=δ(μ−nΔT)

因此，冲激串SΔT(t)的傅里叶变换S(μ)为

S(μ)=F(SΔT(t))=1ΔT∑n=−∞∞F(ei2πnt/ΔT)=1ΔT∑n=−∞∞δ(μ−nΔT)

这个结果说明，周期为ΔT的冲激串的傅里叶变换仍为冲激串，其周期为1ΔT.