离散时间控制系统（3）

2脉冲传递函数

连续时间系统的传递函数建立了连续时间输入信号和连续时间输出信号的拉普拉斯变换之间的关系式，而脉冲传递函数则建立了采样时刻输出信号与输入信号的z变换之间的关系式。

2.1卷积和

在没有输出采样器的情况下，假设在输出端有一个虚拟的采样器，与输入采样器保持同步，那么输出信号y(t)的z变换为：z[y(t)]=Y(z)=∑k=0∞y(kT)z−k(1)

在连续时间系统中，输出y(t)与输入x(t)之间存在卷积关系：

y(t)=∫t0g(t−τ)x(τ)dτ=∫t0x(t−τ)g(τ)dτ(2)

其中g(t)是系统的权函数或者冲激响应函数。在离散系统中，上式的卷积变为与其类似的卷积和。因为：x∗(t)=∑k=0∞x(kT)δ(t−kT)(3)

是冲激序列，所以对系统的输入x∗(t)的响应y(t)是各个冲激响应之和，即

y(t)=g(t)x(0)+g(t−T)x(T)+g(t−2T)x(2T)+⋯=∑h=0kg(t−hT)x(hT),0≤t≤kT(4)

输出y(t)在采样时刻t=kT(k=0,1,2,⋯)的取值为：

y(kT)=∑h=0kg(kT−hT)x(hT)=∑h=0kx(kT−hT)g(hT)(5)

其中，g(kT)是系统权序列。

所以输出序列是输入序列和权序列的卷积和。

y(kT)=x(kT)∗g(kT)

因为当 h>k时，x(kT−hT)等于零。

所以式(5)可以写成脉冲传递函数：

y(kT)=∑h=0∞x(kT−hT)g(hT)=∑h=0∞g(kT−hT)x(hT)(6)

其中当 h>k时，g(kT−hT)等于零。所以y(kT)的z变换为：

Y(z)=∑k=0∞y(kT)z−k=∑k=0∞∑h=0∞g(kT−hT)x(hT)z−k(7)

令m=k−h,则

Y(z)=∑m=−h∞∑h=0∞g(mT)x(hT)z−(m+h)(8)

用于m<0时，g(mT)=0 ,所以由式(8)可得:

Y(z)=∑m=0∞∑h=0∞g(mT)x(hT)z−(m+h)=∑m=0∞g(mT)z−m⋅∑h=0∞x(hT)z−h=G(z)X(z)(8)

由式(8)可得：G(z)=Y(z)X(z)(9)

函数G(z)称为离散时间系统的脉冲传递函数(pulse transfer function).