数据结构实验之图论八：欧拉回路

无向图存在欧拉回路的充要条件

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件

一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

混合图存在欧拉回路条件

要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii<Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V，无向边（U，V）∈E，那么U和V之间互相建立容量为无限大的边。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2，那么就存在欧拉回路。

数据结构实验之图论八：欧拉回路

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题目描述

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。



能否走过这样的七座桥，并且每桥只走一次？瑞士数学家欧拉最终解决了这个问题并由此创立了拓扑学。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡七桥问题，并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

你的任务是：对于给定的一组无向图数据，判断其是否成其为欧拉图？

输入

连续T组数据输入，每组数据第一行给出两个正整数，分别表示结点数目N(1 < N <= 1000)和边数M；随后M行对应M条边，每行给出两个正整数，分别表示该边连通的两个结点的编号，结点从1～N编号。

输出

若为欧拉图输出1，否则输出0。

示例输入

1
6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

示例输出

1

提示

如果无向图连通并且所有结点的度都是偶数，则存在欧拉回路，否则不存在。

来源

xam

示例程序

解法一：（并查集）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int d[1010],f[1010];
int t,n,m;
int find(int x)
{
if(x!=f[x])
f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
void check(int x,int y)
{
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if(fx!=fy)
f[fx]=fy;
}
int solve()
{
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
if(f[i]==i)
cnt++;
}
if(cnt!=1)
return 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(d[i]%2==1)
return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
f[i]=i;
d[i]=0;
}
int u,v;
for(int i=0; i<m; ++i)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
check(u,v);
d[u]++;
d[v]++;
}
if(solve())
printf("1\n");
else
printf("0\n");
}
return 0;
}

解法二：（DFS）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int map[1010][1010],visited[10100],sum,d[2000],n;
void DFS(int x)
{
int i;
visited[x]=1;
sum++;
for(i=1;i<=n;i++)
if(visited[i]==0&&map[x][i])
DFS(i);
}
int main()
{
int i,j,m,k,t,l1,l2;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
sum=0;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(visited,0,sizeof(visited));
memset(d,0,sizeof(d));
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d %d",&l1,&l2);
map[l1][l2]=1;
map[l2][l1]=1;
d[l1]++;
d[l2]++;
}
DFS(l1);
for(i=1;i<=n;i++)
if(d[i]%2==1)
break;
if(i==n+1&&sum==n)
printf("1\n");
else
printf("0\n");
}
}

解法三：（BFS）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int map[1010][1010],visited[10100],sum,d[2000],d1[2000],n;
void BFS(int s)
{
int out=0,in=0,v,i;
visited[s]=1;
sum++;
d1[in++]=s;
while(out<in)
{
v=d1[out++];
for(i=1;i<=n;i++)
if(visited[i]==0&&map[v][i])
{
visited[i]=1;
sum++;
d1[in++]=i;
}
}
}
int main()
{
int i,j,m,k,t,l1,l2;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
sum=0;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(visited,0,sizeof(visited));
memset(d,0,sizeof(d));
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d %d",&l1,&l2);
map[l1][l2]=1;
map[l2][l1]=1;
d[l1]++;
d[l2]++;
}
BFS(1);
for(i=1;i<=n;i++)
if(d[i]%2==1)
break;
if(i==n+1&&sum==n)
printf("1\n");
else
printf("0\n");
}
}