RMQ算法分析
2015-11-26 12:08
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转载自:大神养成中.....
RMQ算法,是一个快速求区间最值的离线算法,预处理时间复杂度O(n*log(n)),查询O(1),所以是一个很快速的算法,当然这个问题用线段树同样能够解决。
问题:给出n个数ai,让你快速查询某个区间的的最值。
算法分类:DP+位运算
算法分析:这个算法就是基于DP和位运算符,我们用dp【i】【j】表示从第 i 位开始,到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。
那么我求dp【i】【j】的时候可以把它分成两部分,第一部分从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ,第二部分从 i + 2 ^( j-1 ) 到 i + 2^j - 1 次方,其实我们知道二进制数后一个是前一个的二倍,那么可以把 i --- i + 2^j 这个区间 通过2^(j-1) 分成相等的两部分, 那么转移方程很容易就写出来了。
转移方程: mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );
代码:
[html] view
plaincopyprint?
void rmq_isit(bool ok)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
if(ok)
mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);
else
mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
那么查询的时候对于任意一个区间 l -- r ,我们同样可以得到区间差值 len = (r - l + 1)。
那么我们这一用小于2^k<=len,的 k 把区间分成可以交叉的两部分l 到 l+2^(k)- 1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的两部分,很easy的求解了。
查询代码:
[cpp] view
plaincopyprint?
int rmq(int l,int r)
{
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1)
k++;
//printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));
int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);
int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);
return ans1-ans2;
}
顺便写一道练习题目:poj
3264 Balanced Lineup
求区间差值,那么很简单一个应用。
RMQ算法,是一个快速求区间最值的离线算法,预处理时间复杂度O(n*log(n)),查询O(1),所以是一个很快速的算法,当然这个问题用线段树同样能够解决。
问题:给出n个数ai,让你快速查询某个区间的的最值。
算法分类:DP+位运算
算法分析:这个算法就是基于DP和位运算符,我们用dp【i】【j】表示从第 i 位开始,到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。
那么我求dp【i】【j】的时候可以把它分成两部分,第一部分从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ,第二部分从 i + 2 ^( j-1 ) 到 i + 2^j - 1 次方,其实我们知道二进制数后一个是前一个的二倍,那么可以把 i --- i + 2^j 这个区间 通过2^(j-1) 分成相等的两部分, 那么转移方程很容易就写出来了。
转移方程: mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );
代码:
[html] view
plaincopyprint?
void rmq_isit(bool ok)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
if(ok)
mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);
else
mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
那么查询的时候对于任意一个区间 l -- r ,我们同样可以得到区间差值 len = (r - l + 1)。
那么我们这一用小于2^k<=len,的 k 把区间分成可以交叉的两部分l 到 l+2^(k)- 1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的两部分,很easy的求解了。
查询代码:
[cpp] view
plaincopyprint?
int rmq(int l,int r)
{
int k=0;
while((1<<(k+1))<=r-l+1)
k++;
//printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));
int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);
int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);
return ans1-ans2;
}
顺便写一道练习题目:poj
3264 Balanced Lineup
求区间差值,那么很简单一个应用。
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