几种查找数组的前K个最小值的算法

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    1、对数组进行排序，然后前K个元素就是需要查找的元素，排序的方法可以采用快速排序，但是我们知道在快速排序中如果已经是有序的数组，采用快速排序的时间复杂度是O(N^2),为了解决这种问题，通常选择随机选择一个数组值pivot作为基准，将数组分为S1 =< pivot和S2
> pivot，这样就能避免快速排序中存在的问题，或者采用随机选择三个元素，然后取中间值作为基准就能避免快速算法的最差时间复杂度，这种方法的前K个数字是有序的。

 

    2、既然是选择前K个对象，那么就没必要对所有的对象进行排序，可以采用快速选择的思想获得前K个对象，比如首先采用快速排序的集合划分方法划分集合：S1，pivot，S2，然后比较K是否小于S1的个数，如何小于，则直接对S1进行快速排序，如果K的个数超过S1,那么对S2进行快速排序，排序完成之后，取数组的前K个元素就是数组的前K个最小值。这种实现方法肯定比第一种的全快速排序要更快速。

 

    3、将数组转换为最小堆的情况，根据最小堆的特性，第一个元素肯定就是数组中的最小值，这时候我们可以将元素保存起来，然后将最后一个元素提升到第一个元素，重新构建最小堆，这样进行K次的最小堆创建，就找到了前K个最小值，这是运用了最小堆的特性，实质上是最小堆的删除实现方法。这种算法的好处是实现了数组的原地排序，并不需要额外的内存空间。

 

    4、接下来的这种思想有点类似桶排序，首先给定一个K个大小的数组b，然后复制数组a中的前K个数到数组b中，将这K个数当成数组a的前K个最小值，对数组b创建最大堆，这时候再次比较数组a中的其他元素，如果其他元素小于数组b的最大值（堆顶），则将堆顶的值进行替换，并重新创建最大堆。这样遍历一次数组就找到了前K个最小元素。这种方法运用了额外的内存空间，特别当选择的K值比较大时，这种方法有待于权衡一下。

    这种方法对于海量数据来说是有较好的作用，对于海量数据不能全部存放在内存中，这时候创建一个较小的数组空间，然后创建最大堆，从硬盘中读取其他的数据，进而实现前K个数据的查找。

下面是代码实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<assert.h>
#include<time.h>

#define LEN 500000
#define K 100

/*堆的性质*/
#define LEFTSON(i) (2*(i)+1)
#define RIGHTSON(i) (2*((i)+1))
#define PARENT(i) (((i)-1)/2)

void swap(int *a, int *b)
{
assert(a != NULL && b != NULL);

if(a != b)
{
*a = *a ^ *b;
*b = *a ^ *b;
*a = *a ^ *b;
}
}

int partition(int *a, int left, int right)
{
int pivot = a[right];
int i = left;
int j = left - 1;

assert(a != NULL);

for(i = left; i < right; ++ i)
{
if(a[i] < pivot)
{
++ j;
swap(&a[i],&a[j]);
}
}
swap(&a[j + 1],&a[right]);
return (j + 1);
}

void quicksort(int *a, int left, int right)
{
int i = 0;

assert(a != NULL);

if(left < right)
{
i = partition(a,left,right);
quicksort(a, left, i - 1);
quicksort(a, i + 1, right);
}
}

int QuickSort(int *a, int size)
{
assert(a != NULL);
quicksort(a,0,size-1);
}

void quickselect(int *a, int left, int right, int k)
{
int i = 0;

assert(a != NULL && left <= k
&& left <= right && k <= right);

if(left < right)
{
i = partition(a, left, right);
if(i + 1 <= k)
quickselect(a, i + 1 , right, k);
else if(i > k)
quickselect(a, left, i - 1, k);
}
}

void QuickSelect(int *a, int size, int k)
{
assert(a != NULL);
quickselect(a, 0, size - 1, k);
}

/*最大堆*/
void max_heapify(int *a, int left, int right)
{
int tmp = 0;
int child = left;
int parent = left;

assert(a != NULL);

for(tmp = a[parent]; LEFTSON(parent) <= right;parent = child)
{
child = LEFTSON(parent);

if(child != right && a[child] < a[child + 1])
child ++;

if(tmp < a[child])
a[parent] = a[child];
else /*满足最大堆的特性，直接退出*/
break;
}
a[parent] = tmp;
}

/*创建最大堆*/
void build_maxheap(int *a, int size)
{
int i = 0;
assert(a != NULL);

for(i = PARENT(size); i >= 0 ; -- i)
max_heapify(a,i,size - 1);
}

/*最小堆的实现*/
void min_heapify(int *a, int left, int right)
{
int child = 0;
int tmp = 0;
int parent = left;

assert(a != NULL);

for(tmp = a[parent]; LEFTSON(parent) <= right; parent = child)
{
child = LEFTSON(parent);

if(child != parent && a[child] > a[child + 1])
child ++;

if(a[child] < tmp)
a[parent] = a[child];
else /*满足最小堆的特性，直接退出*/
break;
}
a[parent] = tmp;
}

/*创建最小堆*/
void build_minheap(int *a, int size)
{
int i = PARENT(size);

assert(a != NULL);

for(; i >= 0; -- i)
min_heapify(a, i, size - 1);
}

/*采用快速排序查找*/
void find_Kmin_num_1(int *a , int size, int k)
{
int i = 0;

assert(a != NULL);

QuickSort(a, size);

#if 0
for(i = 0; i < k ; ++ i)
printf("%d\t",a[i]);

printf("\n");
#endif
}

/*采用快速选择实现*/
void find_Kmin_num_2(int *a, int size, int k)
{
int i = 0;

assert(a != NULL);

QuickSelect(a, size, k);

#if 0
for(i = 0; i < k ; ++ i)
printf("%d\t",a[i]);

printf("\n");
#endif
}

/*采用最大堆实现*/
void find_Kmin_num_3(int *a, int size, int k)
{
int i = 0;

int *b = malloc(sizeof(int)*k);

assert(a != NULL && b != NULL);

for(i = 0; i < k; ++ i)
b[i] = a[i];

build_maxheap(b,k);

for(; i < size; ++ i)
{
if(a[i] < b[0])
{
b[0] = a[i];
// build_maxheap(b , k);
max_heapify(b,0,k - 1);
}
}
#if 0
for(i = 0; i < k ; ++ i)
printf("%d\t",b[i]);

printf("\n");
#endif
}

/*采用最小堆删除元素的方式实现*/
void find_Kmin_num_4(int *a ,int size, int k)
{
int i = 0;

assert(a != NULL);

build_minheap(a, size - 1);
for(i = 0; i < k; ++ i)
{
// printf("%d\t",a[0]);

/*删除a[0]，释放a[size - 1 - i]*/
a[0] = a[size -1 - i];
min_heapify(a, 0, size - 2 - i);
}
// printf("\n");
}

int main()
{
int a[LEN];
int b[LEN];
int c[LEN];
int d[LEN];

int i = 0,j = 0;

clock_t _start;
double times = 0;

srand((int)time(NULL));

for(i = 0; i < LEN; ++ i)
{
a[i] = rand()%(LEN);
b[i] = a[i];
c[i] = a[i];
d[i] = a[i];

// printf("%d\t",a[i]);
}
// printf("\n");

_start = clock();
find_Kmin_num_1(a,LEN,K);
times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
printf("快速排序的查找需要:%f\n",times);

_start = clock();
find_Kmin_num_2(b,LEN,K);
times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
printf("快速选择的查找需要:%f\n",times);

_start = clock();
find_Kmin_num_3(c,LEN,K);
times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
printf("最大堆的查找需要:%f\n",times);

_start = clock();
find_Kmin_num_4(d,LEN,K);
times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
printf("最小堆的查找需要:%f\n",times);

return 0;
}

算法性能：

快速排序的查找需要:0.130000

快速选择的查找需要:0.020000

最大堆的查找需要:0.000000

最小堆的查找需要:0.010000

快速排序的算法效果最差，而最大堆的效果最好，最小堆的效果其次，但是最大堆运用了额外的内存空间。因此在内存空间限制的情况下，考虑最小堆是比较合适的。但是最大堆的思想确实很精妙的，运用了类似桶排序的性质。