多个数的最大公约数

http://www.cnblogs.com/qingergege/p/4992990.html

---恢复内容开始---

最近在看一本算法的书。讲的都是一些基本的问题，并没有涉及很复杂的算法，或者说这本书更看重技巧。

其中开篇就讲了最大公约数的算法，觉得有可取之处，和大家分享一下。

提到最大公约数我们最先想到的一定是辗转相除法。

没错，永远不要蔑视我们的祖先，他们的智慧是无穷的。（扯远了，嘿嘿）

我们都在用辗转相除法来求最大公约数，却很少去想为什么辗转相除法就能求最大公约数呢？或者说怎么证明算法的正确性呢（至少我之前完全没有想过）。

这里我们感性的认识一下辗转相除法（不是很严格地证明一下）。

假设两个数a,b且a>b。 设a除以b商k，余数为r，那么会有a=k*b+r，那么b和r的最大公约数，就是a和b的最大公约数。所以问题就转换求成除数和余数的最大公约数，依次递归，递归的出口就是一个已知的条件：如果a能够被b整除,那么b就是a和b的最大公约数，所以辗转相除法递归代码如下：

int GCD1(int num1,int num2)

{

　　if(num1%num2==0)

　　{

　　return num2;

　　 }

　　else

　　{

　　int next1=num2;

　　 int next2=num1%num2;

　　return GCD1(next1,next2);

　　 }

}

还有一种我们耳熟能详的求最大公约数的算法就是更相减损术，他的基本思想就是：两个数a,b且a>b,那么令c=a-b，然后把 b和c看成新的a和b，递归下去，递归出口就是一个已知的条件：如果a=b，那么a和b的最大公约数就是a或b。其实更相减损术和辗转相除法是一个东东，更相减损术就是让辗转相除法中的商（k）恒为1，所以大多数情况下，辗转相除法的效率要比更相减损术的效率高。给出更相减损术的代码：

int GCD2(int num1,int num2)

{

　　if(num1==num2)

　　{

　　　　 return num2;

　　}

　　else

　　{

　　　　int next1= (num1>num2)? (num1-num2):(num2-num1);

　　　　int next2= (num1>num2)?num2:num1;

　　　　if(next1>next2)

　　　　{

　　　　return GCD2(next1,next2);

　　　　}

　　　　else

　　　　{

　　　　　　return GCD2(next2,next1);

　　　　}

　 }

}

好了，步入这次的正题：多个数求最大公约数（实际上就是辗转相除法的扩展）给出算法：

设一组数a1，a2,a3,a4,a5..

（1）对这一组数进行排序（从大到小）

（2）对每两个相邻的两个数进行如下操作：

　　　　设相邻的两个数为A和B（A在前，因为已经排序，所以A>B）,如果A=n*B（n为整数）,也就是A能够被B整除，那么就令A=B；如果A不能被B整除则令A=A%B。

（3）重复（1）、（2）知道数组中每个数都相等，则最大公约数就为这个数。

给出完整程序：

#include<iostream>

using namespace std;

void Sort(int* num,int n);

int GCD3(const int* num,int n);

int main()

{

　　int num[4]={756,504,630,2226};

　　int result=GCD3(num,4);

　　cout<<"数组：";

　　for(int i=0;i<4;i++)

　　{

　　　　cout<<num[i]<<" ";

　　}

　　cout<<"的最大公约数为："<<result<<endl;

　　return 0;

}

int GCD3(const int* num,int n)

{

　　int *temp=new int
;

　　for(int i=0;i<n;i++)

　　{

　　　　temp[i]=num[i];

　　}

　　do

　　{

　　　　if(temp[0]==temp[n-1])

　　　　{

　　　　　　break;

　　　　}

　　　　else

　　　　{

　　　　　　Sort(temp,n);//排序

　　　　　　for(int i=0;i<n-1;i++)

　　　　　　{

　　　　　　　　if(temp[i]%temp[i+1]==0)

　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　 temp[i]=temp[i+1];

　　　　　　　　}

　　　　　　　　else

　　　　　　　　{

　　　　　　　　　　temp[i]=temp[i]%temp[i+1];

　　　　　　　　}

　　　　　　}

　　　　}

　　}while(temp[0]!=temp[n-1]);

　　return temp[0];

}

//排序

void Sort(int* num,int n)

{

　　//冒泡排序法

　　for(int i=0;i<n-1;i++)

　　{

　　　　for(int j=i;j<n-1;j++)

　　　　{

　　　　　　if(num[i]<num[j+1])

　　　　　　{

　　　　　　　　int temp=num[i];

　　　　　　　　num[i]=num[j+1];

　　　　　　　　num[j+1]=temp;

　　　　　　}

　　　　}

　　 }

}