B树

B树是为磁盘和其他直接存取的辅助存储设备而设计的一种平衡搜索树。B树类似于红黑树，但它们在降低I/O操作数方面要更好一些。许多数据库系统使用B树或者B树的变种来存储信息。

B树与红黑树的不同之处在于B树的结点可以有很多孩子，从数个到树千个。也就是说，一个B树的“分支因子”可以相当大，尽管它通常依赖于所使用的磁盘单元的特性。B树类似于红黑树，就是每棵含有n个结点的B数高度为O(lgn)。然而，一棵B树的严格高度可能比一棵红黑树的高度要小许多，这是因为它的分支因子。

1 B树的定义

如图所示就是一棵B树，一棵B树T是具有以下性质的有根树（根为T.root）:

每个结点x有下面属性：

x.n当前存储在结点x中的关键字个数

x.n个关键字本身x.key1，x.key2，…，x.keyn，以非降序存放，使得

x.key1 ≤ x.key2 ≤ ... ≤ x.keyn

x.leaf，一个布尔值，如果x是叶结点，则为true；如果x是内部结点，则为false

每个内部结点x还包含x.n+1个指向其孩子的指针x.c1，x.c2，…，x.cn+1。叶结点没有孩子，所以它们的Ci属性没有定义。

关键字x.key1对存储在各子树中的关键字范围加以分割：如果ki为任意一个存储在x.ci为根的子树中的关键字，那么

k1 ≤ x.key1 ≤ k2 ≤ x.key2 ≤ ... ≤ x.keyn ≤ kn+1

每个叶结点具有相同的深度，即树的高度h。

每个结点所包含的关键字个数有上限和下限。用一个被称为B树的最小度数的固定整数t > 1来表示这些界限：

除了根结点以外每个结点必须至少有t-1个关键字。因此，除了根结点以外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字。

每个结点至多包含2t-1个关键字。因此，一个内部结点至多可有结点恰好有2t-1个关键字时，称该结点是满的。

B树的高度

如果n>0,那么对任意一棵包含n个关键字、高度h、最小度数t>1的B树T有

2 B树设计

2.1 B树的结点YJBTreeNode

根据B树对于结点的定义设计结点YJBTreeNode。

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//  YJBTreeNode.swift
//  BTree
//
//  CSDN:http://blog.csdn.net/y550918116j
//  GitHub:https://github.com/937447974/Blog
//
//  Created by yangjun on 15/11/23.
//  Copyright © 2015年 阳君. All rights reserved.
//

import Cocoa

/// B树结点
class YJBTreeNode: NSObject {

/// 度数,除根结点的其他结点最少t-1，最多2t-2个子结点
var t :Int
/// 树高
var h :Int = 1
/// 是否叶结点，true是，false不是
var leaf :Bool = true
/// 关键字
var key :[Int] = []
/// 子结点,子结点个数最少t，最多2t-1个子结点
var child :[YJBTreeNode] = []

// MARK: - 初始化
/// 初始化
///
/// - parameter t : 度数,除根结点的其他结点最少t-1，最多2t-2个子结点
///
/// - returns: void
init(t :Int) {
self.t = t
}

}

2.2 B树YJBTree

根据对B树的定义，我们这里设计类YJBTree，并可以指定最小度数t

//
//  YJBTree.swift
//  BTree
//
//  CSDN:http://blog.csdn.net/y550918116j
//  GitHub:https://github.com/937447974/Blog
//
//  Created by yangjun on 15/11/23.
//  Copyright © 2015年 阳君. All rights reserved.
//

import Cocoa

/// B树
class YJBTree {

/// 根结点
private var root: YJBTreeNode
/// 度数,除根结点的其他结点最少t-1，最多2t-2个子结点，默认t最小为3
private let t: Int

// MARK: - 初始化B树
/// 初始化B树
///
/// - parameter t : 度数,除根结点的其他结点最少t-1，
///                 最多2t-2个子结点，默认t最小为3
/// - returns: void
init(t :Int) {
self.t = t < 3 ? 3 : t
root = YJBTreeNode(t: self.t)
}

}

3 B树上的基本操作

3.1 排序

B树的数据和二叉搜索树相类似，我们可以使用中序遍历的方式实现，即左-中-右。

// MARK: - 排序
/// 排序输出
///
/// - returns: [Int]
func sort() -> [Int] {
return self.sort(self.root)
}

private func sort(node: YJBTreeNode) -> [Int] {
// 当前为叶子结点
if node.leaf {
return node.key
}
var list:[Int] = []
let count = node.key.count
for i in 0..<count {
list += self.sort(node.child[i])
list.append(node.key[i])
}
list += self.sort(node.child[count])
return list
}

3.2 搜索

在B数中搜索一个key时，需要注意的是key是在node.key中还是在node.child中。

// MARK: - 根据key搜索所在的树以及位置
func search(key: Int) ->(node: YJBTreeNode, keyLocation: Int)? {
return self.search(self.root, key: key)
}

private func search(node: YJBTreeNode, key :Int) ->(node: YJBTreeNode, keyLocation: Int)? {
var i:Int = 0
while (i < node.key.count && key > node.key[i]) {
i++
}
if (i < node.key.count && key == node.key[i]) {
return (node, i)
} else if node.leaf {
return nil
} else {
// 读磁盘node.child[i]对象
return self.search(node.child[i], key: key)
}
}

3.3 插入key

在B数中插入一个key，其实质是在其叶子结点插入，然后叶子结点裂变生成一棵B树。

插入key的具体思想如下。

根结点为叶子结点执行步骤2，为内部结点执行步骤3。

插入叶子结点，直接插入，叶子满时，分裂并向上抛数。

插入内部结点，向下传递找到要插入的叶子结点执行步骤2。

回调时，遇到向上抛的数据后，重新排列结点。如果结点满，分裂结点继续向上抛。

// MARK: - 插入
/// 插入key
///
/// - parameter key : 要插入的key值
///
/// - returns: void
func insert(key: Int) {
/**
插入三情况结点
1. 根结点为叶子结点执行步骤2，为内部结点执行步骤3。
2. 插入叶子结点，直接插入，叶子满时，分裂并向上抛数。
3. 插入内部结点，向下传递找到要插入的叶子结点执行步骤2。
4. 回调时，遇到向上抛的数据后，重新排列结点。如果结点满，分裂结点继续向上抛。
*/
// 情况1:树高为1，直接添加叶子结点
if root.h == 1 {
root = self.insertLeaf(self.root, key: key)
} else {
if let root = self.insert(self.root, key: key) {
// 情况3,重定向根结点
self.root = root
}
}
}

// MARK: node中插入数据key
private func insert(node: YJBTreeNode, key :Int) -> YJBTreeNode? {
// 插入算法：每次插入都是插入叶子结点，分裂时，依次向上插入分裂
// 当前为叶子结点
if node.leaf {// 情况2:
let leaf = self.insertLeaf(node, key: key)
// 有向上分裂
if leaf.h == 2 {
return leaf
}
return nil
} else {// 情况3:
let index = self.insertIndex(node, key: key)
// 向下继续插入
if let child = self.insert(node.child[index], key: key) { // 遇到抛数
// 插入key
node.key.insert(child.key[0], atIndex: index)
// 替换并插入child
node.child[index] = child.child[1]
node.child.insert(child.child[0], atIndex: index)
// 如果结点满，分裂结点继续向上抛
if node.key.count >= 2 * t - 1{
return self.splitChild(node)
}
}
return nil
}
}

// MARK: 叶子结点插入数据
private func insertLeaf(node: YJBTreeNode, key :Int) -> YJBTreeNode {
let index = self.insertIndex(node, key: key)
node.key.insert(key, atIndex: index)
// 判断是否需要分割
if node.key.count == 2 * t - 1{
return self.splitChild(node)
}
return node
}

// MARK: 插入辅助方法，寻找要插入的位置
private func insertIndex(node: YJBTreeNode, key :Int) ->Int {
// key的个数
let count = node.key.count
// 有数据
if count != 0 {
if key <= node.key[0] {// 最小
return 0
} else if node.key[count-1] <= key {// 最大
return count
}
// 中间
for i in 1 ..< node.key.count {
if (node.key[i-1] <= key && key <= node.key[i]) {
return i;
}
}
}
return 0
}

// MARK: - 分裂结点成为一棵B树
private func splitChild(node: YJBTreeNode) -> YJBTreeNode {
// 分割点
let split = node.key.count / 2
// 初始化
let r = YJBTreeNode(t: t)
r.leaf = false
let rLeft = YJBTreeNode(t: t)
let rRight = YJBTreeNode(t: t)
// 树高
r.h = node.h + 1
rLeft.h = node.h
rRight.h = node.h
// 整理r.key
r.key.append(node.key[split])
// 整理r.child
for i in 0..<split {
rLeft.key.append(node.key[i]) // 左孩子key
}
r.child.append(rLeft)
for i in split+1..<node.key.count {
rRight.key.append(node.key[i]) // 右孩子key
}
r.child.append(rRight)
// 整理child
if node.child.count >=  self.t {
// 有孩子代表是内部结点
rLeft.leaf = false
rRight.leaf = false
// 整理孩子结点的孩子结点
for i in 0...split {
rLeft.child.append(node.child[i])
}
for i in split+1..<node.child.count {
rRight.child.append(node.child[i])
}
}
// 返回的r为一棵B树
return r
}

这里使用了方法splitChild，该方法的作用就是key满足分裂条件时，分裂结点成为一个新的B树。

3.4 删除

在B中删除key时，需要考虑删除的key是在叶子上，还是在树的内部。

删除的核心思想就是：

找到key，合并其左右子结点成新的B树。

判断B能否替代该key。能够替代，替换key、left、right；不能替换，替换left，删除key和right

嵌套回调时，遇到key.count==t-2时，做合并当前child、对应的key和相邻的child；否则不执行任何操作。

// MARK: - 删除key
func delete(key: Int) {
if self.root.key.count == 0 { // 树为空时，直接返回
return
}
// 根据返回的结点判断是否需要降key操作
let newRoot = self.delete(self.root, key: key)
self.root = newRoot.key.count != 0 || newRoot.leaf ? newRoot : newRoot.child.first!
}

private func delete(node: YJBTreeNode, key: Int) -> YJBTreeNode {
/**删除思路：
1. 找到key，合并其左右子结点成新的B树B
2. 判断B能否替代该key。能够替代，替换key、left、right；不能替换，替换left，删除key和right
3. 嵌套回调时，遇到key.count==t-2时，做合并当前child对应的key和相邻的child；否则不执行任何操作。
*/
if node.leaf { // 叶子结点
for (index, value) in node.key.enumerate() {
if value == key { // 找到则删除
node.key.removeAtIndex(index)
break
}
}
} else { // 内部结点
// 嵌套向下
var index = -1
let count = node.key.count
// 寻找key或child
if key > node.key.last! { // 这里用到了快速跳跃，先判断是否跳过
index = count
} else {
for i in 0..<count {
if node.key[i] == key { // 找到key
let bTree = self.mergeChild(node.child[i], right: node.child[i+1])
// 先删除后插入
self.replaceNode(node, index: i, bTree: bTree)
break
} else if key < node.key[i] { // 找到child
index = i
break
}
}
}
// 嵌套返回
if index != -1 {
var bTree = self.delete(node.child[index], key: key)
if bTree.key.count == self.t-2 { // 降key操作
let keyIndex = index == count ? index-1 : index
bTree = self.mergeKeyChild(node.child[keyIndex], key: node.key[keyIndex], right: node.child[keyIndex+1])
self.replaceNode(node, index: keyIndex, bTree: bTree)
}
}
}
return node
}

// MARK: B树替换结点中right、key、left
private func replaceNode(var node: YJBTreeNode, index: Int, bTree:YJBTreeNode) {
if node.h == bTree.h { // 树高相同，替换key、left、right
node.key[index] = bTree.key[0]
node.child[index] = bTree.child[0]
node.child[index+1] = bTree.child[1]
} else { // 树高不同，替换left，删除key和right
node.key.removeAtIndex(index)
node.child[index] = bTree
node.child.removeAtIndex(index+1)
}
// 是否需要合并
if node.key.count >= 2 * t - 1{
node = self.splitChild(node)
}
}

// MARK: 合并左孩子、key、右孩子
private func mergeKeyChild(left: YJBTreeNode, key:Int, right: YJBTreeNode) -> YJBTreeNode {
// key
left.key.append(key)
left.key += right.key
// child
left.child += right.child
// 是否需要合并
if left.key.count >= 2 * t - 1{
return self.splitChild(left)
}
return left
}

// MARK: 合并左右子结点
private func mergeChild(left: YJBTreeNode, right: YJBTreeNode) -> YJBTreeNode {
if left.leaf { // 叶子结点
left.key += right.key
} else {
// 合并首位结点
let bTree = self.mergeChild(left.child.last!, right: right.child.first!)
// 去掉左child尾，右child首
left.child.removeLast()
right.child.removeAtIndex(0)
if bTree.h == left.h { // 树高不变时，连key、child
left.key.append(bTree.key[0])
left.child += bTree.child
} else { // 树高变时，新生成的树是当前结点的child
left.child.append(bTree)
}
// 连接right.child
left.key += right.key
left.child += right.child
}
// 是否需要合并
if left.key.count >= 2 * t - 1{
return self.splitChild(left)
}
return left
}

5 小结

本篇博文讲解了B树的定义、查找、增加和删除等功能。B树是以一种自然的方式推广了二叉搜索树，可以保证在最坏情况下基本动态集合操作的时间复杂度为O(lgn)。

其他

源代码

Algorithms

参考资料

算法导论

文档修改记录

时间	描述
2015-11-23	完成B树的查找和增加结点的研发
2015-11-24	完成B树删除结点的研发，完成《B树》博文

版权所有

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