最小生成树

主题：

其实，求最小生成树有两个要点，一个是权值最小，还有一个就是这个图必须是树。而Prim和Kruskal的不同之处在于两者选择的变量不同，Prim选择的是始终保持权值最小，然后逐个加点构建一棵树。而Kruskal则是始终保证是一棵树（虽然构建过程中不一定是真正的树，但并查集判环可以这样理解：是为了保证结果是一颗树），然后逐条加边，使权值最小。

知道上述两种思想后，来谈谈代码的（都是基于贪心）实现：

Prim：（这里把权值理解成距离）假设，已经确定的点的集合为S，那么还未确定的点可以记为1-S，我们每次从还未确定的点集合1-S中，选择一个里离集合S中的点直接相连，且权值最小（贪心）的点加入S中，不妨被这个点为t，则S与1-S将发生变化：由于t变成了S中的点，那么1-S中与t相连的点的距离实际上变成了该点与S的距离。由于初始化时，已经有一个点已经标志，那么只需要循环N-1次就够了，而且只能是N-1次，否则可能会发生错误（视INF而定），这就是Prim算法。

Kruskal：这个算法相对于Prim来说就比较好理解多了，每次选择权值最小的（贪心）的边，然后看看该边的两个点是否与树矛盾（用并查集判断就行了），在加边的过程中记录有效点的数目，达到N个就结束，不用把每条边都考虑进去。

附上 ：HDU 1233    还是畅通工程两种算法的代码，帮助理解：

Prime：

 #include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<queue>

#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

int Map[110][110],dis[110],vis[110];

int N,M;

void prime(){

    memset(vis,0,sizeof(vis));

    for(int i=1;i<=N;i++) dis[i]=Map[1][i];//权值可以理解成距离，似乎更好理解

    int sum=0;vis[1]=1;//初始1为开始的点，可以任意点

    for(int p=1;p<=N-1;p++){//进行N-1次循环，加入剩下的N-1个点

        int t,Min=INF;

        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]<Min)//寻早集合1-S中到集合S最近的点t

            Min=dis[i],t=i;

        sum+=Min;vis[t]=1;

        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]>Map[t][i])//更新与t相连且在1-S中的点到集合S的距离

            dis[i]=Map[t][i];

    }

    cout<<sum<<endl;

}

int main(){

    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);

    while(cin>>N && N){

        for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=N;j++) Map[i][j]=INF;

        M=(N-1)*N/2;

        int a,b,c;

        for(int i=0;i<M;i++){

            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);

            Map[a][b]=Map[b][a]=c;

        }

        prime();

    }

    return 0;

}

Kruskal：

 #include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

struct edge{

    int u,v,w;

    bool operator<(const edge &a)const{

        return w<a.w;

    }

}E[10010];

int N,M;

int pre[110];

int find(int x){

    int t=x;

    while(pre[t]!=t) t=pre[t];

    while(x!=t) pre[x]=t,x=pre[x];

    return t;

}

void Kruskal(){

    for(int i=0;i<=N;i++) pre[i]=i;//初始话并查集

    int cnt=1,ans=0;

    for(int i=0;i<M;i++){

        int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;

        int fu=find(u),fv=find(v);

        if(fu==fv) continue;//并查集判断是否满足树的性质

        ans+=w;

        pre[fv]=fu;cnt++;

        if(cnt==N) break;//已经满树

    }

    cout<<ans<<endl;

}

int main(){

    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);

    while(cin>>N && N){

        M=N*(N-1)/2;

        for(int i=0;i<M;i++){

            scanf("%d %d %d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);

        }

        sort(E,E+M);//把边排序

        Kruskal();

    }

    return 0;

}

   

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