数学基础II——矢量运算的意义

书接上回，矢量的运算看起来未免太过抽象，这里形象地说明一下矢量运算的意义。我一般习惯用形象的思维想象抽象的理论

，这样认识才更轻松且深刻。

矢量，就是有大小和方向的量。于是我们可以这么想：矢量只受大小和方向的约束，而与起点无关。具体的说，我们可以用【

正东偏北方30度方向，距离100公里】来表示一个矢量，而矢量并没有规定起点是深圳，还是广州。并且这个也不重要。只要

满足方向，距离相同，就可以认为矢量相同。

举例：在平面直角坐标系上【O-XY】上，有三个点A[1/√3,1],B[√3，1],C[2/√3，0]。

如图：



则，矢量OC和矢量AB是同一矢量，也就是说我们向量AB，我们在保证其方向和长度不变的情况下，可以移到向量OC处来。

OK，我们来看矢量运算的实际意义。

1)加减

我们可以将矢量看成是路径，比如矢量OA表示从O点到A点，B点可以直观形象的视为从O沿着OA到了A点，然后从A点沿着AB到了

B点。也就是说，经过上述路径，我们最终从O点到了B点，于是我们可以写成矢量OA+矢量OB=矢量OB；换句话说，【矢量的加

法结果，就是任选一个矢量作为起点，将被加数的各矢量依次平移成一条连贯路径，然后沿着这个路径叠加下去得到终点，这

个起点到终点即是矢量的加法】。

减法的过程相反，被减数是上述起点到终点构成的矢量，减数是其中一条路径，差即是补充路径。

2)范数和模

模即是矢量的大小。模是一个标量，如果存在一个与矢量同向的单位矢量e，则矢量可以表示为模乘以单位矢量e。

例如e=icosθ+jsinθ即是一个单位矢量，如果这个单位矢量与矢量A同向，那么A=|A|e.

范数即是模的平方，也是一个标量。

3)叉乘

叉乘可以视为物理上的力矩。在形象上，叉乘可以视为以两个矢量围成的平行四边形面积大小为模，以右手法则为方向的向量。三维空间矢量A叉乘B在数学上可以视为一个三阶矩阵的行列式，这个三阶矩阵的第一行是所有依次为i1i2i2，第二行依次为左乘数的向量值a1a2a3，第三行依次为右乘数的向量值，依次为b1b2b3。



4)点乘

点乘可以视为物理上的做功。A点乘B在数学上可以视为矢量A的矩阵与矢量B的置换矩阵的乘积。即[a b c][x y z]T。

5)直乘

直乘可以被用来推导旋转。假设一个矢量OA，绕O点旋转θ角度，到了A'点，即向量OA'。

那么A'A=-(A·A')-A×A'=-(||A||cosθ)-||A||sinθe;

故A'=-(||A||cosθ)+||A||sinθe(A*/||A||)=(-cosθ-sinθe)(A*)=(-cosθ-sinθe)(-A)=(cosθ+sinθe)A;

因此A'可以视为以e为轴，大拇指指向e的方向，转过θ度，得到的旋转矢量。

6)共轭

共轭可视为方向相反，模相等的矢量。

7)求逆

求逆可视为方向相反，模互为倒数的矢量。