《编程之美》——最大公约数问题

问题：

求两个正整数的最大公约数，假设两个正整数都很大。

分析与解法：

【解法一】

x与y的最大公约数与x对y的余数的最大公约数是相同的，即f(x, y) = f(y, y%x)，可以把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0。

代码：

int gcd(int x, int y)
{
if(y == 0)
return x;
else
return gcd(y, y%x);
}

【解法二】

解法一中大整数求余的开销很大。因为求余中的除法即为多次相减，可以使用x-y代替。

代码：

int gcd(int x, int y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);//避免出现负数
if(y == 0)
return x;
else
return gcd(y, x-y);
}

【解法三】

解法二将除法运算转化为了减法运算，但是增加了运算次数。



代码：

int gcd(int x, int y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);
if(y == 0)
return x;
if(x % 2 == 0)
{
if(y % 2 == 0)
return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
else
return gcd(x >> 1, y);
}
else
{
if(y % 2 == 0)
return gcd(x, y >> 1);
else
return gcd(y, x-y);
}
}

补充知识点：

最小公倍数 = 两数乘积 / 最大公约数