算法 -- 0-1背包问题之动态规划

本来周五要完成0-1背包问题,由于自己的某些事情耽搁.以后要严格要求自己喽!!! 下面我们一起来学习0-1背包问题:

问题描述:

有N件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。之所以称为”0-1背包问题”表示该问题只有两种结果:装或者不装即0或者1.

基本思路:

该问题中,每一种物品只有一件,同时选择只有放和不放.

实现过程需要借助一个二维数组m[N+1][c+1],m[i][j]表示i号物品在容量为j时,放或者不放入时的最大价值.

我采用的是从最后一个物品开始分析,即从下至上分析.

首先给出一组数据:

总共物品数目:N=5 背包容量:c = 10

每个物品的重量w[6] = { 0 , 2 , 2 , 6 , 5 , 4 }

每个物品的价值v[6] = { 0 , 6 , 3 , 5 , 4 , 6 }

定义数组m[6][11]:

其中第0位，置为0，不参与计算，只是便于与后面的下标进行统一，无特别用处，也可不这么处理。因为物品总数为5,背包的最大容量为10，那么在设置数组m大小时，可以设行列值为6和11，那么，对于m(i,j)就表示可选物品为i…n背包容量为j(总重量)时背包中所放物品的最大价值。

过程分析:

1.首先背包初始是空的,任何一个物品都没有装入.

2.我们从最后一个物品开始分析,即在重量为0~10时,如何放置物品n,使其中价值最大,此时需要确定m[5][0~10]这11个元素的值.

如果物品的重量w[5]大于当前背包的剩余容量j,则背包不能放入该物品,即此时价值为m[5][j]=0;否则可以放入该物品,即此时价值为该物品的价值v[5].

3.接下来我们来分析前n-1个物品在j=0~10的情况下是否放入背包.此时每一个物品的分析都是建立在上一个物品的基础上的,以4号物品为例:

m[4][0~10]这11个值的确定,需要建立在5号物品的基础上.同样分为两种情况:第一种w[4]>j,则背包不能装入该物品,因此此时的最大价值为上一个物品的在j值下对应的值即m[4][j]=m[5][j];第二种w[4]<=j,则背包可以放入该物品,此时就需要比较放入后的价值大,还是不放的价值大.

4.和4号物品的分析方法一样,完成剩下的物品在m数组中的对应值.

总结来讲就是:

w[i]>j,则m[i][j]=m[i+1][j];

w[i]<=j, 则m[i][j]=max ( m[i+1][j] , v[i]+m[i+1][j-w[i]]).

以上内容综合起来表达如下图所示:



实现的代码如下:

/*************************************************************************
**     >  Name : 0_1.c
**     > Author: LiYingXiao (Sweethreart502)
**     >  Mail : liyingxiao502@gmail.com
**     >  Blog : http://blog.csdn.net/u013166575 **     > Created Time: 2015年11月21日 星期六 23时41分19秒
************************************************************************/

#include <stdio.h>

// 五个物品的对应重量
int w[6] = { 0 , 2 , 2 , 6 , 5 , 4 } ;
// 五个物品的对应价值
int v[6] = { 0 , 6 , 3 , 5 , 4 , 6 } ;
// 背包总容量
int c = 10 ;
// 每一个物品的状态值
int x[6] = { 0 } ;

// 核心处理函数
void process ( int m[][11] ) ;

// 输出放入情况
void option ( int m[][11] )  ;

int main ( int argc , char * argv[] )
{
int i ;

// 初始化价值数组为0
int m[6][11] = { 0 } ;

process ( m ) ;

option ( m ) ;

// 输出情况
for ( i = 1 ; i <= 5 ; i++ ) {
if ( x[i] ) {
printf ( "1  " ) ;
} else {
printf ( "0  " ) ;
}
}
printf ( "\n" ) ;

return 0 ;
}

void process ( int m[][11] )
{
int i , j ;

/* 首先解决最后一个物品是否放入 */
for ( j = 0 ; j <= c ; j++ ) {
if ( w[5] > j ) {
m[5][j] = 0 ;
} /* 不能放下,价值为零 */
else {
m[5][j] = v[5] ;
}/* 可以放下,价值为其本身价值 */
}

/* 从下至上分析 */
for ( i = 4 ; i >=  1 ; i-- ) { /* 从下至上依次分析每一个物品 */
for ( j = 0 ; j <= c ; j++ ) { /* 从左至右一次分析j在0~10之间 */
if ( w[i] > j ) {
m[i][j] = m[i+1][j] ;
} /* 不能放入,则价值为下一行同一列的值 */
else {
m[i][j] = ( m[i+1][j] > v[i]+m[i+1][j-w[i]] ) ? m[i+1][j] : v[i]+m[i+1][j-w[i]] ;
/* 如果放入,则它的价值为当前物品的价值加上下一个物品在剩余容量j减去当前物品重量的条件下的价值 */
} /* 分析放入的价值大,还是不放的价值大 */
}
}
}

void option ( int m[][11] )
{
int i , j = c ;

/* 初识情况将j设置为c总容量 */
for ( i = 1 ; i <= 4 ; i++ ) {
if ( m[i][j] == m[i+1][j] ) {
/* 如果该物品价值与下一个物品在当前j下的价值相等,则该物品未放入.因为m数组初始情况是从下到上分析的 */
x[i] = 0 ;
}
else {
x[i] = 1 ;
j -= w[i] ; /* 放入某物品后,要将j减少该物品的重量 */
}
}
/* 最后一个物品是否放入,只需要看当前物品在j下是否价值为零. */
x[5] = m[5][j] ? 1 : 0 ;
}

思考:

如果再添加一个约束条件总体积小于等于t,应该如何实现?

其实和二维的解决方法类似,就相当于数学上面的”同理可得”一样.

代码如下:

/*************************************************************************
**     >  Name : wv_0_1.c
**     > Author: LiYingXiao (Sweethreart502)
**     >  Mail : liyingxiao502@gmail.com
**     >  Blog : http://blog.csdn.net/u013166575 **     > Created Time: 2015年11月22日 星期日 09时32分45秒
************************************************************************/
/* 0_1问题的三维,即在两个约束条件的约束下 */
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<climits>
#include<cstring>

using namespace std;

// 背包总容量
int c = 5 ;
// 背包总体积
int t = 10 ;
// 每一个物品的重量
int w[] = { 0 , 2 , 3 , 1 , 4 } ;
// 每一个物品的体积
int s[] = { 0 , 4 , 5 , 7 , 8 } ;
// 每一个物品的价值
int v[] = { 0 , 8 , 3 , 2 , 4 } ;
// 物品的状态
int x[5];

/* 0-1背包问题 */
void package0_1 ( int m[][11][11] )
{
// 采用从底到顶的顺序来设置m[i][j][k]的值
int i , j , k ;
// 首先分析最后一个物品
for ( j = 0 ; j <= c ; j++ ) {
for ( k = 0 ; k <= t ; k++ ) {
if ( w[4] <= j && s[4] <= k ) {
/* 重量和体积同时满足条件,则放入 */
m[4][j][k] = v[4] ;
} else {
/* 任何一个不满足,则不放入 */
m[4][j][k] = 0 ;
}
}
}

//对剩下的n-1个物品进行放置。
for( i = 3 ; i >= 1 ; i--) {
for(int j = 0 ; j <= c ; j++) {
for ( k = 0 ; k <= t ; k++ ) {
if ( w[i] <= j && s[i] <= k ) {
/* 重量和体积同时满足条件 */
m[i][j][k] = ( m[i+1][j][k] > v[i]+m[i+1][j-w[i]][k-s[i]] ) ? m[i+1][j][k] : v[i]+m[i+1][j-w[i]][k-s[i]] ;
}
else {
m[i][j][k] = m[i+1][j][k] ;
}
}
}
}
}

void answer ( int m[][11][11] )
{
int i , j = c , k = t ;

// 遍历m数组,从第一个货物遍历,判断是否装入
for ( i = 1 ; i <= 3 ; i++ ) {
if ( m[i][j][k] == m[i+1][j][k] ) { // 如果当前物品的价值与下一个物品价值相等,说明没有装i物品
x[i] = 0;
}
else { // 否则装进去
x[i] = 1;
j = j - w[i];
k = k - s[i] ;
}
}
// 如果n物品在当前剩余容量j下非零,则表示装入该物品
x[4] = m[i][j][k] ? 1 : 0 ;
}

// 主函数
int main()
{
// 5个物品,总重量为10,总体积为10
// m数组分析中存储剩余空间为j时,当前的最大价值
int m[5][11][11]={0};  // 初始化为0

// 分析并存储m数组
package0_1 ( m ) ;

// 具体的装载信息
answer(m);

// 输出最优解
cout << "The best answer is:\n";
for ( int i = 1 ; i <= 4 ; i++ ) {
cout << x[i] << " ";
}
std::cout << std::endl ;

return 0;
}