【BZOJ】4002: [JLOI2015]有意义的字符串
2015-11-22 18:09
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题意
求$\left \lfloor \left( \frac{b+\sqrt{d}}{2} \right)^n \right \rfloor \pmod {7528443412579576937} \(,\)\left( 0 \le n \le 10^{18}, 0 < b^2 \le d < (b+1)^2 \le 10^{18}, b \mbox{ mod } 2 = 1, d \mbox{ mod } 4=1 \right) $分析
发现这个并不好算,而如果是\(\left( \frac{b-\sqrt{d}}{2} \right)^n\)那么就好算了。于是又想到数列的特征方程得到的解\(a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n\),于是我们搞搞。直接将\(c_1 = c_2 = 1\),则变成\(a_n = x_1^n + x_2^n\),而我们知道\(x_1、x_2\)是特征方程的两个解,和上面那个形式极为相似,于是我们继续假设。即\(x_1 = \left( \frac{b+\sqrt{d}}{2} \right), x_2 = \left( \frac{b-\sqrt{d}}{2} \right)\)。则\(a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_{n}\)中,\(p = x_1 + x_2, q = - x_1 x_2\),因此得到\(a_{n+2} = ba_{n+1} - \frac{b^2-d}{4}a_{n}\)题解
根据上面这个递推式,我们容易算出其中两项,容易得到\(a_1 = b, a_2 = \frac{b^2+d}{2}\)。而发现通项求出来的是整数,因此我们用矩阵乘法求出\(a_n\)即可。最后再根据条件特判一下\(\left( \frac{b-\sqrt{d}}{2} \right)^n\)即可,即\(ans = a_n - [b^2 \neq d \land n是偶数]\)注意n=0要特判...
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsigned long long ll; typedef ll mtx[2][2]; const ll mo=7528443412579576937ull, Lim=1e9; inline void CK(ll &c) { if(c>=mo) c-=mo; } inline ll mul(ll a, ll b) { if(a<=Lim && b<=Lim) { return a*b; } if(a<b) { swap(a, b); } ll c=0; for(; b; b>>=1, CK(a<<=1)) { if(b&1) { CK(c+=a); } } return c; } void mul(mtx a, mtx b, mtx c, int la, int lb, int lc) { static mtx t; memset(t, 0, sizeof t); for(int i=0; i<la; ++i) { for(int j=0; j<lc; ++j) { for(int k=0; k<lb; ++k) { CK(t[i][j]+=mul(a[i][k], b[k][j])); } } } memcpy(c, t, sizeof t); } ll b, d, n; bool spj(ll n) { if(n==1) { printf("%lld\n", (ll)((((double)b+sqrt(d))/2.0))); } else if(n==2) { printf("%lld\n", (b*b+d)/2); } return n<=2; } mtx a, c; int main() { scanf("%lld%lld%lld", &b, &d, &n); if(spj(n)) { return 0; } ll t1=b, t2=(d-b*b)/4; CK(t1), CK(t2); a[0][0]=t1, a[0][1]=1; a[1][0]=t2, a[1][1]=0; c[0][0]=c[1][1]=1; for(ll tt=n-2; tt; tt>>=1, mul(a, a, a, 2, 2, 2)) { if(tt&1) { mul(c, a, c, 2, 2, 2); } } ll a2=(b*b+d)/2, a1=b; CK(a1), CK(a2); ll ans; CK(ans=mul(a2, c[0][0])+mul(a1, c[1][0])); if(b*b!=d && (n&1)==0) { if(ans==0) { ans=mo-1; } else { ans--; } } printf("%llu\n", ans); return 0; }
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