【BZOJ】3505: [Cqoi2014]数三角形

题意

\(n * m(1 \le n, m \le 1000)\)的网格，求顶点在格点上三角形的个数。

分析

假设\(n \le m\)

\(ans = \binom{(n+1) * (m+1)}{3} - L\)，其中\(L\)表示三点共线的方案数。

所以

$$\begin{align}L& = \frac{1}{2} \sum_{dx=0}^{n} \sum_{dy=0}^{m} \sum_{fx=0}^{n} \sum_{fy=0}^{m} (gcd(|dx-fx|, |dy-fy|)-1) \\& = 2 \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} (gcd(i, j)-1) + (m+1) \binom{n+1}{3} + (n+1) \binom{m+1}{3} \\& = 2 f(n, m) + (m+1) \binom{n+1}{3} + (n+1) \binom{m+1}{3} \\\\f(n, m)& = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \sum_{i=0}^{x} \sum_{j=0}^{y} (gcd(i, j)-1) \\& = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} \left( \sum_{i=0}^{x} \sum_{j=0}^{y} gcd(i, j) - x * y \right) \\& = \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{m} (g(x, y) - x * y) \\\\g(n, m)& = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} gcd(i, j) \\& = g(n, m-1) + \sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \\& = g(n, m-1) + h(n, m) \\\\h(n, m)& = \sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \\& = h(n-1, m) + gcd(n, m) \\\end{align}$$

用这个\(O(n^2 log n)\)的是可以过的，所以就不用推下去了。

题解

分析已经推出一个\(O(n^2 log n)\)的做法，更优做法请自己推～

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
typedef long long ll;
int gcd(int a, int b) {
return b?gcd(b, a%b):a;
}
int n, m;
ll G

, f

;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
ll ans=0, t=(n+1)*(m+1);
ans=(t*(t-1)*(t-2)-(ll)(n+1)*n*(n-1)*(m+1)-(ll)(m+1)*m*(m-1)*(n+1))/6;
for(int i=1; i<=n; ++i) {
for(int j=1; j<=m; ++j) {
f[i][j]=f[i-1][j]+gcd(i, j);
G[i][j]=G[i][j-1]+f[i][j];
}
}
t=0;
for(int x=0; x<=n; ++x) {
for(int y=0; y<=m; ++y) {
t+=G[x][y]-x*y;
}
}
printf("%lld\n", ans-t*2);
return 0;
}