【BZOJ】2675: Bomb
2015-11-22 13:51
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题意:
给n个点,任选其中3个点(一个点只能取一次),求选出三个点的最大曼哈顿距离之和与最小曼哈顿距离之和(n<=10^5)。题解:
最大曼哈顿距离之和很好求,就是能包围所有点的经过三个点的矩阵周长。考虑最小曼哈顿距离之和。
我们考虑一个点,那么另外两个点会有两种分布。由于对称性,我们只考虑当前枚举的点在右上角、剩下两个点在左下角的情况。如果能求出这种情况的最优值,那么我们可以通过坐标系的旋转,使得剩下的情况也计算到了(这是做出本题的关键)。
可以发现曼哈顿距离就是包含三个点的最小矩形周长。
为了方便,我们假设每个点对应的坐标互不相同。(而实际中要考虑三个点或两个点有坐标相同的情况)
一、当剩下两个点其中一个点不在这个矩形上:
此时问题可以转化为,我们枚举中间这个点,然后统计
1、这个点与它的左下角和右上角
2、这个点与它的左上角和右下角
这两种情况的答案。
我们可以按y轴排序然后维护x轴的前缀最值求出一个方向的最值,然后通过坐标系的旋转求出每个方向的最值(注意实际中要讨论点重合的情况)
二、两个点都在矩阵上:
我们同样先y轴排序然后从小到大枚举。
假设右上角的点为1号点,剩下两个点为2、3号点(不必考虑这两个点谁上谁下,因为标号是自己定的..)
那么可以得到答案是:
\[2(x_1+y_1-(x_2+y_3))\]
那么我们用线段树维护一下\((x_2+y_3)\)的最值,即单点更新\(y_i\)和区间更新\(x_i\)以及区间查询\(x_i+y_i\)
那么问题解决。
写的时候注意一下情况一中两个点重合的情况(不特判一下会使得左上右下都是重合的另一个点的答案..)
时间复杂度:\(O(nlogn)\)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100005, MN=-(~0u>>1), MX=~0u>>1; inline int icmp(int a, int b, int w) { return w?min(a, b):max(a, b); } int n, ans1=MN, ans2=MX, nbit, nseg, bit [2]; struct ip { int x, y, id; void scan(int _id) { scanf("%d%d", &x, &y); id=_id; } }p , a ; bool cmpy(const ip &a, const ip &b) { return a.y==b.y?(a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x):a.y<b.y; } void bitrebuild(int s) { nbit=s; for(int i=1; i<=nbit; ++i) bit[i][0]=MN, bit[i][1]=MX; } void bitupdate(int x, int s) { for(; x<=nbit; x+=x&-x) bit[x][0]=max(bit[x][0], s), bit[x][1]=min(bit[x][1], s); } int bitask(int x, int w) { int r=icmp(MN, MX, w^1); for(; x; x-=x&-x) r=icmp(r, bit[x][w], w); return r; } struct node *null; struct node { node *c[2]; int x[2], y[2], go[2]; void up() { x[0]=max(c[0]->x[0], c[1]->x[0]); x[1]=min(c[0]->x[1], c[1]->x[1]); y[0]=max(c[0]->y[0], c[1]->y[0]); y[1]=min(c[0]->y[1], c[1]->y[1]); } void upd(int g, int w) { if(this==null) return; if(abs(y[w])<MX) x[w]=icmp(x[w], g+y[w], w); go[w]=icmp(go[w], g, w); } void down() { if(go[0]!=MN) c[0]->upd(go[0], 0), c[1]->upd(go[0], 0), go[0]=MN; if(go[1]!=MX) c[0]->upd(go[1], 1), c[1]->upd(go[1], 1), go[1]=MX; } void init() { x[0]=y[0]=go[0]=MN; x[1]=y[1]=go[1]=MX; c[0]=c[1]=null; } }Po[N<<2], *iT=Po, *root; node *newnode() { iT->init(); return iT++; } void seginit() { null=iT++; null->init(); } void segrebuild(int l, int r, node *&x) { x=newnode(); if(l==r) return; int mid=(l+r)>>1; segrebuild(l, mid, x->c[0]); segrebuild(mid+1, r, x->c[1]); } void segrebuild(int s) { iT=&Po[1]; nseg=s; segrebuild(1, s, root); } int segask(int L, int R, int w, int l, int r, node *x) { if(L<=l && r<=R) return x->x[w]; x->down(); int mid=(l+r)>>1, ret=icmp(MN, MX, w^1); if(L<=mid) ret=segask(L, R, w, l, mid, x->c[0]); if(mid<R) ret=icmp(ret, segask(L, R, w, mid+1, r, x->c[1]), w); return ret; } void segupdate1(int p, int s, int l, int r, node *x) { if(l==r) { x->y[0]=max(x->y[0], s); x->y[1]=min(x->y[1], s); return; } x->down(); int mid=(l+r)>>1; if(p<=mid) segupdate1(p, s, l, mid, x->c[0]); else segupdate1(p, s, mid+1, r, x->c[1]); x->up(); } void segupdate2(int L, int R, int s, int l, int r, node *x) { if(L<=l && r<=R) { x->upd(s, 0); x->upd(s, 1); return; } x->down(); int mid=(l+r)>>1; if(L<=mid) segupdate2(L, R, s, l, mid, x->c[0]); if(mid<R) segupdate2(L, R, s, mid+1, r, x->c[1]); x->up(); } int segask(int x, int w) { return segask(1, x, w, 1, nseg, root); } void segupdate1(int s, int x) { segupdate1(x, s, 1, nseg, root); } void segupdate2(int s, int x) { segupdate2(x, nseg, s, 1, nseg, root); } void readin() { scanf("%d", &n); for(int i=1; i<=n; ++i) p[i].scan(i); } int pos , cnt; void lisan() { static int ax ; for(int i=1; i<=n; ++i) ax[i]=a[i].x; sort(ax+1, ax+1+n); cnt=unique(ax+1, ax+1+n)-ax-1; sort(a+1, a+1+n, cmpy); for(int i=1; i<=n; ++i) pos[i]=lower_bound(ax+1, ax+1+cnt, a[i].x)-ax; } void getans1(int d [2]) { bitrebuild(cnt); for(int i=1; i<=n; ++i) { int ps=pos[i]; d[a[i].id][0]=bitask(ps, 0), d[a[i].id][1]=bitask(ps, 1); bitupdate(ps, a[i].x+a[i].y); } } void getans2() { segrebuild(cnt); for(int i=1; i<=n; ++i) { int ps=pos[i], x=a[i].x, y=a[i].y, temp; temp=segask(ps, 1); if(temp!=MX) ans1=max(ans1, (x+y-temp)<<1); temp=segask(ps, 0); if(temp!=MN) ans2=min(ans2, (x+y-temp)<<1); segupdate2(x, ps); segupdate1(y, ps); } } void trans() { for(int i=1; i<=n; ++i) { int x=p[i].x, y=p[i].y; p[i].x=-y; p[i].y=x; } } int ar[4] [2]; void work() { for(int k=0; k<4; ++k) { for(int i=1; i<=n; ++i) a[i]=p[i]; lisan(); if(k>=2) for(int i=2; i<=n; ++i) if(a[i].x==a[i-1].x && a[i].y==a[i-1].y) swap(a[i].id, a[i-1].id); getans1(ar[k]); getans2(); trans(); } for(int i=1; i<=n; ++i) { if(abs(ar[2][i][1])<MX && abs(ar[0][i][1])<MX) ans1=max(ans1, (-ar[2][i][1]-ar[0][i][1])<<1); if(abs(ar[3][i][1])<MX && abs(ar[1][i][1])<MX) ans1=max(ans1, (-ar[3][i][1]-ar[1][i][1])<<1); if(abs(ar[2][i][0])<MX && abs(ar[0][i][0])<MX) ans2=min(ans2, (-ar[2][i][0]-ar[0][i][0])<<1); if(abs(ar[3][i][0])<MX && abs(ar[1][i][0])<MX) ans2=min(ans2, (-ar[3][i][0]-ar[1][i][0])<<1); } } int main() { seginit(); readin(); work(); printf("%d\n%d\n", ans1, ans2); return 0; }
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