HDU 2767 Proving Equivalences(强连通缩点)

题意：给出一个有向图，不一定连通，问至少加多少有向边可以使其变成连通的。

思路：先跑一遍Tarjan并进行缩点。缩完点后，得到一个DAG，设入度为0的点数位inCnt，出度为0的点数为outCnt，则答案为max(inCnt, outCnt)。注意如果跑完一遍图本身就是强连通的，则直接输出0。

下面证明为什么答案是max(inCnt, outCnt)。

先给出一个有向图。



假如这个是缩完点后的图，那我们如何添最少的变使它变成强连通图呢。

对于这个图，我们可以看到入度为0的点为: 1，2，6，7; 出度为0的点为 4，5，6，7，8。要使图变成强连通的，则显然要使：总的出度数 = 总的入度数，且保证每个点的出度和入度都大于0。那么我们可以先画下面这样的图：



红色箭头表示我们至少要添的有向边。
那么显然，我们只需要把“出”的箭头连到“入”的箭头上，且保证所有红色箭头都有得连接，那么就可以得到一个强连通图。所有“出”的箭头与“入”的箭头对应相连，即我们添的一条有向边是对应至少一条“入”箭头和至少一条“出”箭头，那么显然，添边的数量不会超过max{“入”的箭头数量，“出”的箭头的数量}。这一图中入度为0的点有4个，出度为0的有5个，所以至少添的有向边数为5。下图为其中一种添法。



只要把所有红色的箭头填边对应连接出来，就可以得到一个强连通图。显然此图中我们只需添出度为0的点的个数，即5条边，就可以得到一个强连通图。
代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define mem(a, n) memset(a, n, sizeof(a))
#define rep(i, n) for(int i = 0; i < (n); i ++)
#define REP(i, t, n) for(int i = (t); i < (n); i ++)
#define FOR(i, t, n) for(int i = (t); i <= (n); i ++)
#define Min(a, b) a = min(a, b)
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define si(a) scanf("%d", &a)
#define sii(a, b) scanf("%d%d", &a, &b)
#define siii(a, b, c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)
#define pb push_back
#define eps 1e-8
const int inf = 0x3f3f3f3f, N = 2e4 + 5, M = 1e5 + 5, MOD = 1e9 + 7;

int T, cas = 0;
int n, m;
int ne, dfsNum, top, tot;
struct edge {
int v, next;
}e[M];
int head[M], dfn
, low
, vis
, st
, g
, in
, out
;
void addEdge(int u, int v) {
e[ne].v = v;
e[ne].next = head[u];
head[u] = ne ++;
}
void init() {
mem(dfn, 0), mem(low, 0), mem(vis, 0);
mem(in, 0), mem(out, 0), mem(g, 0), mem(head, -1);
dfsNum = ne  = top = tot = 0;
}

void Tarjan(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++ dfsNum;
st[top ++] = u;
vis[u] = 1;
for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
int v = e[i].v;
if(!dfn[v]) {
Tarjan(v);
Min(low[u], low[v]);
} else if(vis[v]) Min(low[u], dfn[v]);
}
if(low[u] == dfn[u]) {
tot ++;
while(1) {
int k = st[-- top];
g[k] = tot;
vis[k] = 0;
if(k == u) break;
}
}
}

void work() {
for(int u = 1; u <= n; u ++) {
for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
int v = e[i].v;
if(g[u] == g[v]) continue;
out[g[u]] ++;
in[g[v]] ++;
}
}
}

void gao() {
work();
int ans1 = 0, ans2 = 0, ans;
for(int i = 1; i <= tot; i ++) {
if(in[i] == 0) ans1 ++;
if(out[i] == 0) ans2 ++;
}
ans = max(ans1, ans2);
if(tot == 1) ans = 0;
printf("%d\n", ans);
}

int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("/Users/apple/input.txt", "r", stdin);
//  freopen("/Users/apple/out.txt", "w", stdout);
#endif

si(T);
while(T --) {
init();
sii(n, m);
int u, v;
for(int i = 0; i < m; i ++) {
sii(u, v);
addEdge(u, v);
}
for(int u = 1; u <= n; u ++) if(!dfn[u]) Tarjan(u);
gao();
}

return 0;
}