北大OJ1006

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

　　输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。 

　　当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

　　从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。 

采用以下格式： 

Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days. 

　　注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

以下转自http://www.51ojr.com/report/full/78

解决思路

　　中国剩余定理，本题难点不在编程，而是分析题目并转化为数学公式

　　要引入本题解法，先来看一个故事 “韩信点兵”：

      传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末 尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已 经知道士兵总人数在2300~2400之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便 立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是
韩信点兵的故事。 

　　韩信点兵问题简化：已知 n%3=2,  n%5=3,  n%7=2,  求n。 

  　再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数

　　已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i ,求n 。 

　　两道题是一样的。但是韩信当时计算出结果的？ 

　　韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。 

　　“韩信点兵”问题计算如下： 

　　因为n%3=2, n%5=3, n%7=2

      我们先找一个最小的数能被5和7整除，并且除以3的余数为1，这里，我们可以找到最小的数是70。有什么好处呢，大家知道70 * 1 % 3 = 1，那么70 * 2 % 3 = 2，70 * a  % 3 = a,这样可以方便找到140这个除以3余数又为2的数，同时又能被5和7整除。

       同理，我们可以找到21是能被3和7整除但是除以5余数是1的数，那么63便是除以5余数是3. 15能被3和5整除，但是除以7余数是1，那么30便是除以7余数是2的数。

       那么  140 + 63 + 30 = 233，必定是一个除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2的一个数，而我们又很容易知道233加上或者减去3,5,7的最小公倍数，得到的数同样满足这个性质。韩信已知士兵人数在2300~2400之间，所以只需要233 + i × lcm(3,5,7)= 233 + 105 * 20 = 2333.

　　同样，这道题的解法就是：

　　假设过n天后，三个生理周期同时到高峰。 

已知(n+d)%23=p;   (n+d)%28=e;   (n+d)%33=i 

       使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544； 

       使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421； 

       使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。 

      因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d 

　　又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;

      所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252

　　本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252

　　那么最终求解n的表达式就是：

　　n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;

　　当问题被转化为一条数学式子时，你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

#include<iostream>

using namespace std;

 

int main(void)

{

    int p,e,i,d;

    int time=1;

    while(cin>>p>>e>>i>>d)

    {

        if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)

            break;

 

        int lcm=21252;  // lcm(23,28,33)

        int n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;

        if(n==0)

            n=21252;

        cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl;

    }

    return 0;

}

解法二：遍历

#include<stdio.h>

int main(){

    int p,e,i,d,count;

    count=1;
while(1){
scanf("%d %d %d %d",&p,&e,&i,&d);
if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1){
break;
}
int x;
for(x=1;x<=21252;x++){
if((x+d-p)%23==0&&(x+d-e)%28==0&&(x+d-i)%33==0){
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",count,x);
count++;
break;
}
}

}
return 0;

}