初等数论四大基本定理

呵呵，我又来了，好久没写日志了，啦啦啦……
以前说过的，这次带来……好吧，如题。先从自认为简单些的开始吧。

①威尔逊定理

这个定理是说，对于任意自然数q，当且仅当q是质数时，(q-1)!≡q-1(mod q)；

那么，怎么证明咧？
首先，如果q不是质数，而且q大于4，那一定存在q=0(mod p),q=0(mod q/p) 1<p<q，那么(q-1)!=0(mod q)

然后，当q是质数时，我们可以构造集合A={1,2,3,4……n-1}，对于集合中除1和n-1外的任意数x，集合中必定唯一存在y，使xy=1(mod
q)（其实就是y是x的数论倒数），那集合中除1和n-1外的数都可两两配对，使最后的乘积为1(mod
q)，于是乎，再乘上1和n-1，得到(q-1)!=q-1(mod q)；

还有问题，上面说的对于每个x，存在xy=1(mod
q)，又怎么证明咧？因为q是质数，x与q互质，构造集合{x，2x，3x……qx}，所以该集合一定是对于模q的一个缩系(即任意两个数不对模q同余，从而模q后形成q的剩余系)，又因为qx=0(mod
q)，所以一定唯一存在y(1<y<q)，使xy=1(mod q)。
唔，然后就证完了！

②中国剩余定理

听名字就蛮自豪的，这货是用来解同余方程的说；
首先，对于同余方程x=ai(mod
mi)(1≤i≤n)，且各个mi互质，我们定义M=m1Xm2Xm3……Xmn，以及qi=M/mi，设ti为qi对于模mi的数论倒数(前面说过的)，那么x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn+kM(k为任意整数)。
然后就是证明了：
先把等一下要用的东西写出来：
　　　　　　因为ti*qi=1(mod
mi)，所以ai*ti*qi=ai(mod mi)；
　　　　　　因为qi是任意mj(i≠j)的倍数，所以ai*ti*qi=0(mod
mj)；
好了，然后开证了：对于每个mi，x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn=ai*ti*qi+a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn；之后

对于模mi可得x=ai+0+0……+0=ai(mod
mi)，满足条件，然后再加个kM(这个可以理解吧)，得证啦！

③费马小定理

注意，是小定理，不是费马大定理哦！它告诉我们假如p是质数，且gcd(a,p)=1(就是互质)，那么a(p-1)≡1(mod
p)；
证明来了(略苦逼的说)：
构造集合P={1,2……,p-1}，由于p与a互质，那么对于另一个集合A={a,2a……a(p-1)}，是p的一个缩系，这个前面说过，这里具体证明一下，如果存在ai=aj(mod
p)，那么ai-aj=a(i-j)=0(mod
p)，因为a与p互质，可得i-j=0(mod p)!，与题意不符！
然后1*2*3……*(p-1)=a*2a*3a……an(mod
p)，于是(p-1)!=(p-1)!*a(p-1) (mod
p)，因为(p-1)!与p互质，约去(p-1)!
得证：a(p-1)≡1(mod
p)。

④欧拉定理

费马小定理事实上是欧拉定理的一种特殊情况，欧拉定理是说若p,a为正整数，且p,a互质，则aφ(p)≡1(mod
p)，证明我就不详述了， 用费马小定理的证明改一下就好了啦，就是这样！又偷懒了……