对数极坐标

一. 对数极坐标

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在介绍对数极坐标之前，让我们先来介绍极坐标的概念。在平面内选择一个定点O作为“极点”，从该点引出一条射线OX，叫做“极轴”，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，可以用r来表示OM的长度，用表示OM到OX所转过的角度。那么，

就被称为点M的极坐标。用这种方法建立的坐标系叫做极坐标系。显然，极坐标系和直角坐标系之间存在着对应关系，即：

，也可以写为：

。

顺便提一下，第一个使用极坐标来确定平面内点的坐标位置的人是牛顿。

下图所示，就是一个圆在直角坐标系及极坐标系中的表示。可见，圆上的任意一点的坐标，可以用

的极坐标形式来表示，也可以用(x,y)的直角坐标形式来表示。



对数极坐标，顾名思义，就是在极坐标的基础上，增加“对数”，即log运算。直角坐标同对数极坐标之间存在着如下的转换关系：


，其中，


极坐标和对数极坐标有很多很好的性质，因此，在图像处理中，我们也经常能见到它的身影。例如，在图像拼接中，经常会见到将图像从笛卡尔直角坐标系转换到对数极坐标系中，进行图像旋转尺度和缩放因子的计算，并以此来进行后续的匹配和矫正、配准等操作。



上图就是一个典型的例子，左边是直角坐标系中的三个矩形（分别用粗实线、细虚线、粗虚线来表示），右边是对数极坐标中表示的三个矩形。很显然，直角坐标系中粗虚线表示的矩形，距离中心点

的距离最长，因此，转换到对数极坐标中时，其位于logr轴的最右方。而直角坐标系中粗实线和细虚线表示的两个矩形，距离中心点

的距离相等，但是，两者之间存在着45度的夹角，而这在对数极坐标中，可以明显的看出。

二. Log-Polar——关于对数极坐标

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对数极坐标几何（Log-Polar
Geometry）是为了仿真生物视网膜，比如人眼中央小凹，的成像原理而产生的，它具有数据压缩的特性。对


数极坐标系是一个二维坐标系，一个点的坐标由一个实数对 (ρ，θ) 决定，ρ 是该点到某一特定点（原点origin）的距离的对数，θ是过该点与原点的直线和某个参考直线（如x轴）所张的角度。

一个类似于人眼的传感器阵列如左图所示，它由64层同心圆组成，每个同心圆上有32个传感器。 这样一个传感器具有如下特性：
1. 它有一个极结构，即如果把中心点看做原点，则任一个传感器原件的位置可以由它到原点的距离和角度来表示；

2. 径向相邻传感器大小的变化是线性的，中心最小，越远离中心越大。

从对数极坐标到笛卡尔坐标的变换



从笛卡尔坐标到对数极坐标的变换



下面举一个例子。如果我们把上面这个传感器直接覆盖在原始图像（下左图）上，并且将每个传感器范围内的像素值全部置为这一区域的均值，那么就会出现目标图像所示的效果（下右图）。可以看出，该图在图像中心有很高的分辨率，但是随着离心率的增大，分辨率不断降低。





在极坐标下表示的传感器可以映射到笛卡尔坐标下，下图展示了一部分图像的变换结果。







全部64x32个“像素”的阵列按照上述变换的结果如右图。这种描述被称作对数极坐标表述（log-polar representation），因为任意一个像素(ρ，θ)被映射为笛卡尔坐标系下的(logρ，θ)。

下图展示了左边镜片的边框是如何映射的。