sicily 2501. 算算式

2501. 算算式

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Description

_gXX遇到一个麻烦的式子：
S = n1 + n2 + n3 + ...... + nk，已知n、k，求S的值。
因为_gXX数学很差，希望你能告诉他答案。但是由于他的数学实在太差了，所以你只需要告诉他S除以9901的余数即可。

Input

两个整数，n和k（n ≤ 1000 , k ≤ 109）。

Output

一个数，表示S除以9901的余数。

Sample Input

2 3

Sample Output

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题目分析

数论题

第一是同余定理

a+b≡x+m （mod d）,其中 a≡x (mod d)，b≡m(mod d)

即(x+m)%d = (x%d + m%d) %d

a-b≡x-m (mod d) 其中 a≡x (mod d),b≡m (mod d)

a*b≡x*m (mod d ) 其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)

第二是应用了费马小定理

百科解释为:假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。

即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

应用到这一题就是p=9901为质数

则n^(9900+k) % 9901 = (n^9900%9901 * n^k)%9901 = (1 * n^k) % 9901 = n^k % 9901;

即每9900个数为一个循环

第三应用等比公式的求和

n^1 + n^2 +...+ n^9900 = n*(1-n^9900)/(1-n)

左右对9901求模,右边应用同余定理,注意到1-n^9900对9901求模为0

所以最终结果为0

即此题

(n^1 + n^2 +...+ n^k) % 9901 = (n^1 + n^2 +...+ n^(k%9900)) % 9901

第四为了加快计算,

n^1 + n^2 +..+ n^k = n(1+(n..n(1+n)..))再用同余公式

#include <stdio.h>
const int p = 9901;

int main()
{
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);

int temp = 0;
int times = k % 9900;
for (int c = 1; c <= times; ++c)
temp = n * (1 + temp) % p;

printf("%d\n", temp);
return 0;
}