第二讲 数学模型方法

声明：该文章是博主阅读《数学方法论选讲》的读书笔记。由于博主能力有限，中间有过错之处希望大家给予批评指正，一起学习交流。

数学模型方法（mathematical modelling method）简称MM方法，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域各种实际问题的一般数学方法。特别地，现代电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得MM方法已经广泛地应用于自然科学、工程技术科学与社会科学的一切领域中。

“数学模型”的含义很广。粗略来说，数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。当然，这种数学结构应该是借助于数学概念和符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。所谓纯关系结构是指已经扬弃了一切与关系无本质联系的属性后的系统。

仔细说来，数学模型有广义的解释和狭义的解释。从广义上讲，数学中各种基本概念，如实数、向量、集合、群、环、域、范畴、线性空间、拓扑空间等等都可叫做MM，因为它们都是以各自相应的现实原型（实体）作为背景而加以抽象出来的最基本的数学概念。这些可成为原始的MM。像欧氏几何是关于直觉空间形体（刚体运动下图像结构不变的形体）关系分析的MM；自然数1，2，3，…，n，… 是用来描述离散数量的MM……

按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫做MM。例如，在应用数学中，MM一词通常都作狭义解释，而构造MM的目的就是为了解决具体实际问题。

接下来还是大家所熟悉的套路，那就是分类。大致来说，MM可分为三大类。

一类是确定性数学模型。这类模型所对应的实体对象（又称背景对象）具有确定性或固定性，对象间又具有必然的关系。这类模型的表示形式可以是各种各样的方程式、关系式、逻辑关系式、网络图等等。所使用的方法无非是经典数学方法。

二类是随机性数学模型。这类模型的背景对象具有或然性或随机性。MM的表示工具无非是概率论、过程论及数理统计学等方法。

三类是模糊性数学模型。这类模型所对应的实体对象及其关系均具有模糊性。MM的基本表示工具便是Fuzzy子集合理论及Fuzzy逻辑等等。

当然了，从复杂多变的实际对象关系中分析结晶出来的数学模型也可能是兼具随机性和模糊性的混合型数学模型，表现这类MM所使用的数学工具也就不能是单纯的一门数学了。

像哥尼斯堡七桥问题，欧拉就是用MM方法解决的，通过抽象分析，将七桥问题转化成线路拓扑的一笔画问题。还有布丰(Buffon)投针实验的数学模型问题（这个著名例子在现代概率论教程里经常谈到）……

理论讲完了，那么可能会问了，实际中该怎么构造MM呢？一般来说，基本过程可分为如下几个步骤：

第一步：对所研究的实际问题即现实原型，要分析其对象与关系结构（包括量变因果关系）的本质属性，以便确定其MM的类别。

第二步：要确定所研究的系统并抓住主要矛盾。为使用MM方法，须考察问题所属系统，如热力系统、水利系统、电力系统、生态系统、生产管理系统、市场供销系统、人体神经系统等等。在确定系统的过程中有时还需从大系统中分离出子系统来。例如，研究潮汐摩擦问题时，须确定地－月系统。这个系统需从太阳系（大系统）中分离出来。

为建立MM还必须选择具有关键性作用的变量或量的关系进行考察。这就是说，要抓住主要因素，因为MM所反映的应该是主要因素间的关系结构。

第三步：要进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系都要进行抽象，要尽可能使用数学概念、数学符号和数学表达式去表现事物对象及关系。如果遇到现成的数学工具不够用时，则还需要大胆创造，根据实际情况，提出新的数学概念和数学方法去表现MM。

按照这三步骤构造出来的MM至少应具有两个特点：（1）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的确定性。（2）MM相对于较复杂的现实模型来说，应该具有化繁为简、化难为易的特点。因此在用以解决实际问题时，应该容许有一定的误差范围，好的MM还应该具有估计误差范围的性能。

说了这么多，虽然高大上，似乎并没有什么卵用啊，我就比较功利，我就想知道怎样培训才能拥有构造MM的能力。客官别急，接下里就给出言简意赅的方案。

从数学模型的性质要求和构造方法来看，至少需要四个方面的能力：一是理解实际问题的能力，二是抽象分析的能力，三是运用数学工具的能力（包括运用数学形式语言的能力），四是通过实践加以验证的能力。所以，首先，必须学习有关领域的知识。其次，在学习各门数学时，要注意多做些应用题。最后，还要多接触实际问题，有时还需要深入到实际具体部门中去。

PS：除了精通本行专业之外，拥有较宽广的科技知识修养是非常有益的。