多重集组合数

问题描述：

有n种物品，第i种物品有ai个。从这些物品中取m个，有多少种取法，求出方案数 模上M的余数。

Sample input:

n = 3;
m=3;
a = {1,2,3};
M = 10000;

Sample output:

6 (0+0+3,0+1+2,0+2+1,1+0+2,1+1+1,1+2+0)

该题采用动态规划。

其中有一个思想让我感触很深：

dp[i+1][j] := 前i种物品中取出j个物品的组合总数

那么对于dp[i+1][j] 其中的每种取法都可以拆分为前i-1种物品取j-k件，第i种物品取k件、

那么

dp[i+1][j] =∑min(j,ai)k=0dp[i][j−k]

做题的时候经常遇到这种公式，而怎么把他转换成动态方程，却没什么思路，但是看了该题，终于有了点思路，那就是把上边的求和公式转变成另一个dp数组。

即：∑min(j,ai)k=0dp[i][j−k] = ∑min(j−1,ai)k=0dp[i][j−1−k] + dp[i][j] - dp[i][j-1-ai]

注意，该公式分两种情况，一个是j-1≥ai时，另一个即为小于时。

那么由此得到

dp[i+1][j] = dp[i+1][j-1] + dp[i][j] - dp[i][j-1-ai]

而在写代码的时候，可能遇到得到的dp数为负数，因为其中有减法运算，所以有减法运算的时候，在末尾加上M 然后再模上M，这样能确保得到的结果不会出现负数。