第一讲 数学方法论引论

声明：该文章是博主阅读《数学方法论选讲》的读书笔记。由于博主能力有限，中间有过错之处希望大家给予批评指正，一起学习交流。

方法论（methodology）是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。（英文:methodology一词又译为方法学，正如大家所知，各门科学都有方法论，数学自然也有它的方法论。

那什么是数学的方法论呢？

数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。

也许会有人发牢骚了，研究数学都让人头疼了，怎么还有个研究数学方法论，还让不让人活了，简直就是对智商的又一次万点伤害啊。我想说其实不是这样的，俗话说：磨刀不误砍柴工。研究数学方法论是很有意思和意义的一件事。

众所周知，数学是一门工具性很强的科学，大家对其最深刻的印象就是高度的抽象性。为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好的传承下去，就需要对这门学科的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，了解方法论是非常有益且很有必要的。（数学方法论中的方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以学习一点数学史还是很有必要的）

提出了方法论，根据我们从小到大看教材或老师讲课的经验，接下里就该是方法论有哪些？怎么划分？

大体上分为两类：宏观的数学方法论和微观的数学方法论。

宏观的范畴：由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连，因此，数学发展规律的研究就属于这个范畴。

微观的范畴：在研究数学课题时，不考虑数学发展的外在推动力，专就数学内部体系结构中的特定问题来进行分析研究。这样的话，就需要考虑采用最有效的数学研究方法，需要懂得数学发现与数学创造等各种法则，这些研究者个人必须遵循的方法与法则的研究就属于这个范畴。

值得一提的是，在微观的数学方法论中，归纳与类比方法是发现数学真理的重要手段。十八、十九世纪有突出贡献的数学家欧拉和高斯都曾发表过一些经验之谈，欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验”。高斯也提到过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。

归纳法与类比法师数学方法论中最基本的方法之一，用好了能获得新的成果，乃至完成重要发现。但要真正用好也不容易。首先，要有敏锐的观察力，才能从众多的特例中归纳总结出一般性命题来。“特例”有时是现成的，有时却需要故意构造出来。要用好类比法需要有较丰富的数学知识，知识面越广，在数学思维中可用作类比推理的题材就越多，因而能形成普遍命题的机会（或发现数学一般真理的机会）也就越多。很难想象，知识面很窄的人能完成重大的发现。

当然，形成的“普遍命题”在完成证明之前往往是一种猜想，因此，只有经过严格证明之后才能成为确定的定理或论断。所以数学史上许多杰出的数学集往往既是发现与发明的能手，也是精干证明技巧的硬手。但是也有数学家是一种擅长数学发现，一种擅长论证。前者属于“发散思维”，后者属于“收敛思维”

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