HDU4842-过河

算是一道经典的状压DP入门题吧

过河

[align=left]描述如下：[/align]

[align=left]　　在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。[/align]
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

这道题是NOIP2005的提高2题 ，乍一看，解法比较明确，就是DP，但是仔细看一下它的数据范围：

　　本题有多组数据。对于每一组数据来说：第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

显然，10^9范围内的DP，在时限内是不可能实现的。首先我们看一下数据组数，最多100组；再看一下数据范围，1~10^9；显然，100组数据分布在一个亿的区间内，数据和数据之间的间隔是相当之大的。同时由题意得，每次跳跃的距离是在一个区间之内，因为本题的解只和踩到石子的次数有关，与跳跃次数无关，所以我们可“省略”中间不参与计算的跳跃次数，对数据范围进行压缩。
最简单的压缩方式，因为步数<10，所以直接压到8*9=72位，最大值为7200，可以接受
再思考一下可以写出以下状态压缩代码

int d=0,k=s*t,x;        //d表示累加平移量，k表示s和t的公倍数
for (int i=0;i<=m;i++)
{
x=a[i]-d-a[i-1];    //x表示第i个石子和第i-1个石子的距离
if (x>k) d+=x-k;    //超过公倍数部分用作平移
a[i]=a[i]-d;
stone[a[i]]=1;      //标记平移后位置是石子
}
stone[a[m]]=0;          //桥尾不是石子

经过此方法压缩后，数据范围可缩小至200左右，然后很简单的DP就可以了

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>             //排序和求最小值要用到此文件。
using namespace std;
int L,s,t,m,ans;
int a[110];                     //保存石子位置
int f[11000]={0};               //f[x]表示青蛙跳到位置i最少踏的石子数
int stone[11000]={0};           //stone[x]表示位置x是否是石子，0表示不是，1表示是
void solve()
{
int d=0,k=s*t,x;           //d表示累加平移量，k表示s和t的公倍数
for (int i=1;i<=m+1;i++)
{
x=a[i]-d-a[i-1];        //x表示第i个石子和第i-1个石子的距离
if (x>k) d+=x-k;        //超过公倍数部分用作平移
a[i]=a[i]-d;
stone[a[i]]=1;          //标记平移后位置是石子
}
stone[a[m+1]]=0;            //桥尾不是石子
f[0]=0;
for (int i=1;i<=a[m+1]+t-1;i++)  //考查桥上到桥尾的所有位置
{
f[i]=105;
for (int j=s;j<=t;j++)  //在i的前一个位置中找一个经历石子最少的
if (i>=j)
f[i]=min(f[i],f[i-j]);
f[i]+=stone[i];         //加上当前位置石子数
}
ans=101;
for (int i=a[m+1];i<=a[m+1]+t-1;i++)  //在跳过桥后所有位置中找一个最小值
ans=min(ans,f[i]);
cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
cin>>L>>s>>t>>m;
ans=0;
a[0]=0;
a[m+1]=L;
for (int i=1;i<=m;i++)
cin>>a[i];
sort(a+1,a+m+1);            //对桥中间石子位置排序，这上步必须要有
if (s==t)
{                           //这种情况只需考查石子是否是石子的倍数即可
for (int i=1;i<=m;i++)
if (a[i]%s==0)
ans++;
cout<<ans<<endl;
}
else solve();
return 0;
}