平面最近点对

 求点集中的最近点对有以下两种方法:
设p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n个点构成的集合S，设计算法找出集合S中距离最近的点对。

1、蛮力法（适用于点的数目比较小的情况下）
1）算法描述：已知集合S中有n个点，一共可以组成n(n-1)/2对点对，蛮力法就是对这n(n-1)/2对点对逐对进行距离计算，通过循环求得点集中的最近点对：
2）代码描述：
double MinDistance = double.maxvalue； //设置一个MinDistance存储最近点对的距离，初始值为无穷大
int PointIndex1,PointIndex2； //设置PointIndex1,PointIndex2分别存储最近点对的两个点编号
for (i=1; i< n; i++) //循环计算n(n-1)/2对点对的距离
{
for (j=i+1; j<=n; j++)
{
double PointDistance = Distance(S[i],S[j]);
//求得point i和point j之间的距离
if PointDistance < MinDistance; //如果当前点对距离小于最小点对距离，则设置最小点对距离等于当前点对距离
{
MinDistance = PointDistance;
PointIndex1 = i;
PointIndex2 = j;
}
}
}
} 
3）算法时间复杂度：算法一共要执行 n(n-1)/2次循环，因此算法复杂度为O(n2)

2、分治法
1）算法描述：已知集合S中有n个点，分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为SL和SR，L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2，
（否则以其他方式划分S，有可能导致SL和SR中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性）
依次找出这两部分中的最小点对距离：δL和δR，记SL和SR中最小点对距离δ
= min（δL，δR），如图1：

以L为中心，δ为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于SL和SR的交界处，如下图2左图中的虚线带，p点和q点分别位于SL和SR的虚线范围内，在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于δ，最小点对计算才有意义。

Figure 2

对于SL虚框范围内的p点，在SR虚框中与p点距离小于δ的顶多只有六个点，就是图二右图中的2个正方形的6的顶点。这个可以反推证明，如果右边这2个正方形内有7个点与p点距离小于δ，例如q点，则q点与下面正方形的四个顶点距离小于δ，则和δ为SL和SR中的最小点对距离相矛盾。因此对于SL虚框中的p点，不需求出p点和右边虚线框内所有点距离，只需计算SR中与p点y坐标距离最近的6个点，就可以求出最近点对，节省了比较次数。
（否则的话，最坏情形下，在SR虚框中有可能会有n/2个点，对于SL虚框中的p点，每次要比较n/2次，浪费了算法的效率）
代码描述：
1）对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，获得点集Sx和Sy
2）令δ=∞;//δ为最小点位距离
3）Divide_conquer（Sx，Sy，δ）//分治法
if （Sx.count=1） thenδ=∞;
//如果Sx中只有一个点，则δ=∞
returnδ;
else if（Sx.count=2 and d（Sx.[0],Sx.[1]）<δ）//如果Sx中只有2个点，则δ为两点之间距离
δ=d（Sx.[0],）Sx.[1]）;
returnδ;
else//如果Sx中多于2个点，则将Sx,Sy分治，以中心点画线，将Sx分为左右两部分SxL和SxR，Sy分为SyL和SyR
j1=1,j2=1,k1=1,k2=1;
mid =Sx.count/2;
//mid为Sx中的中间点点号
L =Sx.[mid].x;
//L为Sx中的中间点x坐标
for(i=1,i<Sx.count,i++)
{
if(i<=mid)//将Sx中间线以左地方的点存入到SxL，新数组保持原来的升序性质
SxL[k1] =Sx[i] k1++;
else//将Sx中间线以右的地方的点存入到SxR，新数组保持原来的升序性质
SxR.count[k2] = Sx[i] k2++;
if(Sy[i].x<L)
//将Sy中间线以左地方的点存入到SyL，新数组保持原来的升序性质
SyL[j1] = Sx[i] j1++;
else//将Sy中间线以右地方的点存入到SyR，新数组保持原来的升序性质
SyR[j2] = Sx[i] j2++;
}
δL =Divide_conquer（SxL，SyL，δ）;//获取Sx中的的最小点位距离δL

δR =Divide_conquer（SxR，SyR，δ）;//获取Sy中的的最小点位距离δR
δ= min (δL,δR);
δ=merge(SyL，SyR，δ);//获Sx中Sy交界处的最小点位距离，并综合δL和δR
求出点集的最小点位距离δ
returnδ;

函数merge(SyL，SyR，δ)
merge(SyL，SyR，δ)
{
i1=1,i2=1;
for(i=1,i<SyL.count,i++)//获取SyL中在左边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'yL中，新数组保持原来的升序性质
{
if(SyL[i].x>L-δ)
then S'yL[i1]= SyL[i], i1++,
}
for(i=1,i<SyR.count,i++)
//获取SyR中在右边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'yR中，新数组保持原来的升序性质
{
if(SyR[i].x<L+δ)
then S'yR[i2]= SyR[i], i2++,
}

t=1;
for(i=1,i<S'yL.count,i++)
{
while(S'yR[t].y< S'yL[t].y and t < SyR.count)//获取点集S'yR内距离点S'yL[t]y坐标最接近的点号
{ t++; }
for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'yR.count),j++)
//计算S'yR中的点与S'yL[t]y坐标相邻的六个点的距离
{
if(d(S'yL[i],S'yL[j])<δ)//如果前两点之间距离小于δ
then δ = d(S'yL[i],S'yL[j]);//则最小点位距离δ为当前两点之间距离
}
return <
a80b
/span>δ
}

3）算法时间复杂度：
首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，需要循环2nlogn次，复杂度为O(2nlogn)
接下来在分治过程中，对于每个S'yL中的点，都需要与S'yR中的6个点进行比较
O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6 （一个点集划分为左右两个点集，时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和）
其解为O(n)< O(3nlogn)
因此总的时间复杂度为O(3nlogn)，比蛮力法的O(n2)要高效。