完全背包问题实例
2015-11-15 11:58
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题目描述
零崎有很多朋友,其中有一个叫做lfj的接盘侠。lfj是一个手残,他和零崎一起玩网游的时候不好好打本,天天看拍卖行,没过多久,就成为了一个出色的商人。时间一长,虽然挣了不少钱,却没时间练级了。
作为lfj的友人,零崎实在看不下去,于是他决定帮lfj一把。当然了,零崎肯定不会自己动手,活还得你们来干。
lfj可以提供给你们拍卖行所有能买到物品的价格和利润,由于游戏产出不限,所以可以假定只要有钱,即使是同一种东西,多少个也都能买到手。lfj还会告诉你他初始的成本。虽然零崎想让你们给出一次交易中利润最大的购买方案,但是lfj觉得只要知道最大利润就可以了。
输入
每组数据第一行为两个整数P和N,表示本金和拍卖行物品种类数。接下来N行,每行两个数据pi,ci代表第i类物品的利润和购买价格。
1<=P<=20000,1<=N<=300,1<=c,p<=200
输出
对于每组数据,输出一行,为能获得的最大利润输入样例
3 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 1
输出样例
6 4
Hint
使用if直接比较不要调用max()以防超时完全背包问题:
完全背包和0-1背包的不同之处:完全背包的物品不再是只有一件而是有无数件,所以对于某一件物品也不再是拿(1)不拿(0)。而是变为了拿0件,1件,2件...k件,按照0-1背包问题的状态转移方程同样可以写出完全背包的状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
分析上述的状态转移方程
这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)的。
因此我们需要对改状态方程进行改进:
O(VN)的算法:
for (int i = 1; i <= N; i++) for (int v = 0; v <= V; v++) f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i]);
或者f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i])
可以发现和0-1背包不同的地方只是在于内部for循环的起止改变了顺序,为什么这样可以实现完全背包的要求呢?
首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用v= 0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
因此可以得到完全背包的代码实现:
void CompletePack(int cost , int weight) { for (int i = weight ; i <= W ; ++ i) f[i] = max(f[i],f[i-weight]+cost) ; }
下面给出本题的代码实现:
#include <bits/stdc++.h> long long f[20010]; long long c[310]; long long v[310]; using namespace std; int main() { int V,k; while(~scanf("%d%d",&V,&k)) { memset(f,0,sizeof(f)); memset(c,0,sizeof(c)); memset(v,0,sizeof(v)); for(int i=1; i<=k; i++) scanf("%lld%lld",&v[i],&c[i]); for(int i=1; i<=k; i++) { for(int j=c[i]; j<=V; j++) { if(f[j-c[i]]+v[i]>=f[j]) f[j]=f[j-c[i]]+v[i]; else f[j]=f[j]; } } printf("%lld\n",f[V]); } }
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