伸展树

伸展树（Splay Tree，事实上在国内OI界常常被称作Spaly Tree，与此同理的还有Terap），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造，后者对其进行了改进。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。

树的旋转总结:当一个节点绕着另一个节点旋转,保持要成为新的根节点的节点不动,如果遇到被旋转节点的左孩子节点,那么被旋转节点要将此孩子节点插入到旋转节点右孩子节点上.如果遇到被旋转节点的右孩子节点,那么被旋转节点要将此孩子节点插入到旋转节点左孩子节点上…..

自顶向下的旋转,从树根向下,一直把目的节点旋转到树根

自下向上的旋转,从目的节点开始,依次向上旋转,一直把目的节点旋转到树根

对于伸展树,一共有6种旋转方式….2*3种…（单旋转,一字型,之字形）;

/article/5853733.html

http://trophy.iteye.com/blog/1738309

http://blog.sina.com.cn/s/blog_b3511e8e0101dixg.html

http://www.tuicool.com/articles/IrymyqM 好文章

自顶向下的伸展:

伸展树的自顶向下伸展（top-down splay）

自顶向下伸展操作将伸展树分为三部分：

左树：包含所有已经知道比待查节点 X小的节点。

右树：包含所有已经知道比待查节点 X大的节点。

中树：包含所有其它节点。

在中树自根向下进行节点查找（每次向下比较两个节点），根据查找情况将中树中的节

点移动（此处的移动是指将节点和中树的连接断开，而将节点连接到左或右树的适当位置。）到左树或右树（如有必要则会先对中树进行旋转再进行节点移动）。

初始状态时，左树和右树都为空，而中树为整个原伸展树。随着查找的进行，左树和右

树会因节点的逐渐移入变大，中树会因节点的逐渐移出变小。最后查找结束（找到或遇到空

节点）时组合左中右树并是伸展树自顶向下伸展方法的最终结果。

伪代码:
其中的 L、R 分别表示左树和右树且初始值为空，M 为中树且初值为原伸展树；X为待查节点，T 为 M 的根节点。

FUNC top-down-splay
DO
IF X 小于 T THEN
IF X 等于 T 的左孩子 THEN
右连接
ELSEIF X 小于 T 的左孩子 THEN
右旋
右连接
ELSE X大于 T 的左孩子 THEN
右连接
左连接
ENDIF
ELSE X大于 T THEN
IF X 等于 T 的右孩子 THEN
左连接
ELSEIF X 大于 T 的右孩子 THEN
左旋
左连接
ELSE X小于 T 的右孩子 THEN
左连接
右连接
ENDIF
ENDIF
WHILE  找到 X或遇到空节点
组合左中右树
ENDFUNC

上面的代码的作用：将”键值为key的节点”旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：

(a)：伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

(c)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话，将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

/*
* 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
*
* 注意：
*   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
*        将"键值为key的节点"旋转为根节点。
*   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
*    b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
*    b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
*   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
*    c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
*    c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
*/
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
{
Node N, *l, *r, *c;

if (tree == NULL)
return tree;

N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;

for (;;)
{
if (key < tree->key)
{
if (tree->left == NULL)
break;
if (key < tree->left->key)
{
c = tree->left;                        /* 01, rotate right */
tree->left = c->right;
c->right = tree;
tree = c;
if (tree->left == NULL)
break;
}
r->left = tree;                              /* 02, link right */
r = tree;
tree = tree->left;
}
else if (key > tree->key)
{
if (tree->right == NULL)
break;
if (key > tree->right->key)
{
c = tree->right;                          /* 03, rotate left */
tree->right = c->left;
c->left = tree;
tree = c;
if (tree->right == NULL)
break;
}
l->right = tree;                            /* 04, link left */
l = tree;
tree = tree->right;
}
else
{
break;
}
}

l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */
r->left = tree->right;
tree->left = N.right;
tree->right = N.left;

return tree;
}