网络流小结

对这段时间做的网络流问题做一个小结，希望有用，题目的话，可以去我的专题里面找

网络流算法的模版和详解

EK算法

ISAP

Dinic

MCMF

论文和知识点的讲解

胡伯涛：算法合集之《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

模型和建模

1.多源多汇问题：源有多个，汇也有多个，流可以从任意一个源流出，最终可以流向任意一个汇，总流量等于所有源流出的总流量，也等于流进所有汇的总流量

建模方式：加一个超级源s’和超级汇t’，然后从s’向每个源引出一条有向弧，容量为无穷大，每个汇向t’引一条有向弧，容量为无穷大

题目：UVA-11045

2.结点容量:每个结点都有一个允许通过的最大流量，称为结点容量

建模方式：把每个原始结点u分裂成u1和u2两个结点，中间连一条有向弧，容量等于u的结点容量。原先到达u的弧改成到达u1，而原先从u出发的弧改成从u2出发

题目：UVA-10330

3.无源无汇的有上下界的流

模型分析：这个模型比较特别，没源又没汇，而且每条弧除了有容量c之外，还多了一个下界b。

那就分析一下该模型的特点，既然无源无汇，那么每个结点就都要满足”入流=出流”这个流量平衡条件

依此性质，就求出每个点的入流和出流，用d[]代表每个结点的入流-出流。接着设置一个超级源点S和一个超级汇点T，因为要满足所有结点的入流=出流，所以:

1.d[u] > 0的点，建立 (S->u)的边，容量为d[u]

2.d[u] < 0的点，建立(u->T)的边，容量为-d[u]

3.所给的边（u,v,c,b),建立(u->v)的边，容量为c - b，为什么是c - b，因为我们假设改边已经流了b的流量了

如果求出来的是满流，表示能满足每条边的下界

解释一下为什么，根据流量守恒的性质，所有点的入流=所有点的出流，所以满流的时候，就满足了。

为什么要这样建模，首先，d[u]>0的连向了源点，也就是说，从u出发的都是出流了，只要该边满流了，就能让u点的入流=出流了

d[u] < 0的情况相同

题目：SGU-194

4.有源有汇的有上下界的最大流

模型分析：这个和第二个就有区别了，因为有源有汇了，但是不同之中还是有相同的，就是有上下界，那么能否按照无源无汇有上下界的的思路呢？

答案是可以的，但是跑出来的却是无源无汇的结果，但是这题是有源有汇的，所以这里要加一条边，假设源点为s1,汇点为t1，加的这条边就是t1 - > s1，容量为无穷大

为什么要加上这条边呢？因为有了源点和汇点，而源点和汇点又都是特殊的点，一个是只出不入，一个是只入不出的，所以d[t1]必然是大于等于0的，而d[s1]是小于等于0的。而当(t1->s1)这条边有流时，就相当于从源s1流出了流量了，所以这条流是条可行流

在附加了该边之后，建模方式还是按照上面那样，设置超级源点S和超级汇点T，按情况连接向那些入流-出流的点，如果满流了，表示能满足下界了，但是满足下界了，不代表就是最大流了，所以我们还得在残余网络上，去掉超级源点和超级汇点，再跑一次从(s1->t1)的最大流，该最大流加上(t1->s1)的那条边的流，就是所要的最大流了

题目：ZOJ-3229

5.有源有汇的有上下界的最小流

建模分析：这个和上面的情况又不同了，这次是要最小流，要在最小流的情况下，又要满足下界的限制，所以处理起来就比较麻烦了，但也不是很麻烦

对比上次的模型，上次是添加了一条(t1->s1)的边，这条边流过的流量是可行流。所以，这里也要添加，但添加的顺序不一样

首先，还是处理出所有的结点的入流-出流，然后连向超级源点S，超级汇点T，和无源无汇的那种情况相同，把源汇当成普通结点，先跑出最大流了，再添加边，再跑一次最大流，接着得到的(t1->s1)流就是所求的最小流了

这里解释一下为什么，首先，我们在不添加(t1-s1)的情况下，先跑了一次(S到T的)最大流，表示的是不提供流量的情况下，让那些能平衡流量结点的尽量去平衡，这样就能减少流量了

接着添加了(t1-s1)了，再跑一次(S到T的最大流)的话，相当于是提供了流量了，在提供了流量的情况下，如果能满流，即满足所有边的下界的话，就表示找到可行流了

为什么是最小的，因为第一次已经将那些能平衡的尽量平衡了，不能平衡的，就需要流了，所以，这是在实在不能平衡的情况下，才给流的，所以这是最小流

题目：SGU-176

6.行列模型 ：给你一个矩阵，然后给出一些行的和，和一些列的和，现在问这个矩阵的上面的数字

建模方式：矩阵上的一个数字，即属于某一行，也属于某一列，发现该性质后，就可以建图了

首先设置一个超级源点S和超级汇点T

超级源点S和给出的每一行相连，容量为该行的和

超级汇点T和给出的每一列相连，容量为该列的和

接着就是矩阵上的每个数字了，找到该数字的行和列，并相连，容量为所给矩阵数字最大值

就这样，跑最大流，得到的边上的流量就是该数字的值了

不过这里得注意，因为边的流量有可能是0，所以容量还是得依题目而变，有的题目要求的是矩阵上面的数字不能为0的，最小要为1的，这个也好办，给相应的边的容量减去相应的最小值就可以了

比如，最小值要求是1，那么超级源点S到每行的容量就变成该行的和-(该行的数的数量)，列也一样，而每个数字连向行列的容量也要相应的减去1，因为现在我们将0看成1，1看成了2了，所以要相应的变化

题目：HDU-3338

UVA-11082

7.时序模型：给出起点和终点，再给出一系列的边，连边有相应的限制，就是时间限制，如果在时间限制内可行，那就可以连边，最后问最大流

建模分析：找到可连的边连接起来就可以… 这种模型我见的也不多

题目：UVA-1161

8.层次模型：慢慢的增加边，直到达到要求为止

建模分析：我也不知道该怎么取名字，反正就是慢慢的枚举，一层一层的加边，直到得到所需的流为止

题目:UVALIVE-2957

HDU-1733

9.费用与流量平方成正比的最小流：容量c均为整数，并且每条弧还有一个费用系数a，表示该弧流量为x时费用为ax^2，问最小费用最大流

建模分析：观察式子，当流量为1时，费用为a * x，流量为2时，费用为a * x^2，流量为3时，费用为a * x ^ 3

随着流量的增加，可得费用的增长规律，1 * x ^ 2, 3 * x ^ 2，5 * x ^ 2，

所以建变的时候，可以将一条边拆成n条边，容量都为1，费用分别为x * 2, 3 * x ^ 2, 5 * x ^ 2，这样，就满足费用为a * x ^ 2了

题目：UVALIVE-5095

接下来的模型都要考虑到最小割的性质了

可参考该论文胡伯涛：算法合集之《最小割模型在信息学竞赛中的应用》

里面有详细的证明和建图方式，下面我就不详说了，具体自己去看，自己理解

10.分数规划

建图方式：因为式子要满足w - g * c，所以枚举g，边的容量变成w - g * c

当h(g) > 0时，表明g偏小

h(g) < 0时，表明g偏大

题目：ZOJ-2676

11.最大权闭合

建模分析：找出所有的点权为正的，这些点和超级源点S相连接，容量为该点的点权

所有点权为负的，和汇点T连接，容量为点权的绝对值

所给的边，相连，容量为INF

然后用sum(正点权) - 最小割就是最大权闭合了

题目:HDU-3061

POJ-2987

12.最大密度子图

建模分析：最大密度子图要满足h(g) = (U * n - Mincut ) / 2 = 0，即要满足分数规划的要求，当h(g) > 0 时，表示g < g*，所以g要增大

当h(g) < 0时，表示g > g*，g要减小

当h(g) = 0时，刚好

上面的u表示的是为了防止点权变成负数而加上去的正数，因为有n个点加上了那个数

选择一个点的代价是2 * g - d，d表示的是该点的度数

1.点权和边权为1的最大密度子图

这个比较好办，按照上面所给的式子建图

超级源点S和所有点连接，权值为m

超级汇点T和所有点连接，权值为m + 2 * g - d

有边权的边相连，容量为1

2.点权为1，边权不为1的最大密度子图

只需要修改所给边的边权即可，将其修改成所给边权

3.点权和边权都不为1

这时候，选择一个点的代价就变成了2 * (g - 该点的点权) - d了

为了防止点权变成负数，所以要加上U = 2 * sum(点权) + m

超级源点S和所有点相连接，权值为U

超级汇点T和所有点相连接，容量为U ＋ 2 * (g - 该点的点权) - d

有边权的相连接，容量为所给的边权

h(g) 的U也要相应改变

题目：UVALIVE-3709

13.二分图最小权点覆盖

模型分析：所给的匹配边，只能有一个在点集内，最小割刚好符合

X集合的点和超级源点S连接，容量为该点的点权

Y集合的点和超级汇点T连接，容量为该点的点权

所给的边连接，容量为无穷大

所得到的最小割就是最小点权覆盖了

14.二分图最大权独立

模型分析：因为二分图的最小点权覆盖和二分图的最大权独立是对偶的

所以只要用总权值-二分图最小点权覆盖即可

15.混合欧拉回路

混合图的欧拉回路，借用别人的吧

混合图欧拉回路用的是网络流。

把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。

现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。当初由于不小心，在这里错了好几次）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。

由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。

题目：poj-1637