堆排序

堆排序是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。

　　堆排序的平均时间复杂度为Ο(nlogn) 。

算法步骤：

　　1)创建一个堆H[0..n-1]

　　2)把堆首(最大值)和堆尾互换

　　3)把堆的尺寸缩小1，并调用shift_down(0),目的是把新的数组顶端数据调整到相应位置

　　4) 重复步骤2，直到堆的尺寸为1

简单排序算法是通过比较，确定最值的位置。假设未排序元素个数为N，则遍历一趟，需比较N-1次,再遍历下一趟时，需比较N-2次。但是，第二趟比较完全是独立的，没有利用第一次比较的信息。因为，第一趟比较时也没有把比较信息保留下来。

能不能找到一种方法，可以将本趟比较信息记录下来，以供下一趟求最值时使用，从而达到减少比较次数的目的。

一维数组，从直观上来看，是一种线性结构，这也是我们所熟知的。

但是，一维数组，还可以表达完全二叉树结构，这个确是不经常用到。



简单选择排序，是将一维数组看做线性结构，逐个比较。

但是，如果将其看做二叉树结构，有没有方法将其比较次数降低呢，于是便有了堆排序算法。

堆排序正是利用一维数组可表示完全二叉树，从而借助完全二叉树的性质来保存比较信息。从而达到减少比较次数的算法。

1.1定义

　n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：

　(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ )

若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。

1.2建堆方法

1.3建堆时间复杂度

1.4建堆算法

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//调整节点 大根堆

template<class T>

void AdjustHeapNode(T a[],int i,int n){ //调整节点i，数组共有N个节点

if (n==1||i>(n-2)/2) //i为叶子节点 (n-2)/2 最后一个非叶子节点的位置

return;

int iLeft=2*i+1;

int iRight=2*i+2;

if (iRight<=n-1) //说明i有左右两个子节点 三个节点找最大值

{

if (a[i]>=a[iLeft]&&a[i]>=a[iRight]) // i 最大 不用调整

return;

if (a[i]<a[iLeft]&&a[iRight]<=a[iLeft]) // iLeft 最大

{

T temp=a[iLeft];

a[iLeft]=a[i];

a[i]=temp;

AdjustHeapNode(a,iLeft,n);

return;

}

if (a[i]<a[iRight]&&a[iLeft]<=a[iRight]) // iRight 最大

{

T temp=a[iRight];

a[iRight]=a[i];

a[i]=temp;

AdjustHeapNode(a,iRight,n);

return;

}

}else{ // 说明i只有左节点 二个节点找最大值

//iLeft为最后一个节点

if (a[i]>=a[iLeft])

return;

else

{

T temp=a[iLeft];

a[iLeft]=a[i];

a[i]=temp;

AdjustHeapNode(a,iLeft,n);

return;

}

}

}

//建立堆

template<class T>

void CreateHeap(T a[],int n)

{

int iFirst=(n-1)/2; //第一个非叶子节点

for (;iFirst>=0;iFirst--)

{

AdjustHeapNode(a,iFirst,n);

}

}

//堆排序

template<class T>

void HeapSort(T a[],int n)

{

CreateHeap(a,n);

T temp;

for (int i=0;i<n-1;i++)

{

temp=a[n-1-i];

a[n-1-i]=a[0];

a[0]=temp;

AdjustHeapNode(a,0,n-1-i);

}

}

1.5堆插入

1.6 删除堆顶后调整

1.7 堆的意义