01分数规划

摘自http://blog.csdn.net/hhaile/article/details/8883652

因为当前只看了01分数规划，所以后面的就没拷贝过来了，想看的可以自己点链接

【关键字】

0/1分数规划、最优比率生成树、最优比率环

【背景】

根据楼教主的回忆录，他曾经在某一场比赛中秒掉了一道最优比率生成树问题，导致很多人跟风失败，最终悲剧。可见最优比率生成树是多么凶残的东西，但是这个东西只要好好研究半天就可以掌握，相信你在看了我写的这篇总结之后可以像楼教主一般秒掉这类问题。

因为网上对于01分数规划问题的详细资料并不是太多，所以我就结合自己的一些理解总结这种问题的解法，因为水平有限，如果有错误或是麻烦的地方，尽管喷，邮箱或是下方留言。

联系我的话perseawe@163.com，欢迎讨论，请在标题前注明[acm]或是[oi]，以免被垃圾邮件。

【知识储备】

高考数学能考84分以上的同学…… 因为只会用到公式的整理与变形，还有sigma.别说你连sigma都不会，那就没办法了。

【定义】

01分数规划问题：所谓的01分数规划问题就是指这样的一类问题，给定两个数组，a[i]表示选取i的收益，b[i]表示选取i的代价。如果选取i，定义x[i]=1否则x[i]=0。每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有选择物品的总收益/总代价的值最大或是最小。

01分数规划问题主要包含一般的01分数规划、最优比率生成树问题、最优比率环问题等。我们将会对这三个问题进行讨论。

永远要记得，我们的目标是使R取到最值，本文主要讨论取到最大值的情况。这句话我会在文中反复的强调。

【一些分析】

数学分析中一个很重要的方法就是分析目标式，这样我们来看目标式。

R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])

我们来分析一下他有什么性质可以给我们使用。

我们先定义一个函数F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单的变形。分离参数，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L):=sigma(d[i]*x[i])，多么简洁的式子。我们就对这些东西下手了。

再次提醒一下，我们的目标是使R取到最大值。

我们来分析一下这个函数，它与目标式的关系非常的密切，L就是目标式中的R，最大化R也就是最大化L。

F的值是由两个变量共同决定的，即方案X和参数L。对于一个确定的参数L来说，方案的不同会导致对应的F值的不同，那么这些东西对我们有什么用呢?

假设我们已知在存在一个方案X使得F(L)>0，这能够证明什么?

F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是说，如果一个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的解，那么为什么不用呢？

显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，能够使F(L)>0. 我们猜想，这个时候的L就是我们要求的最优解。之后更大的L值则会造成无论任何一种方案，都会使F(L)<0.类似于上面的那个变形，我们知道，F(L)<0是没有意义的，因为这时候的L是不能够被取得的。当F(L)=0使，对应方案的R值恰好等于此时的L值。

综上，函数F(L)有这样的一个性质：在前一段L中可以找到一组对应的X使得F(L)>0，这就提供了一种证据，即有一个比现在的L更优的解，而在某个L值使，存在一组解使得F(L)=0,且其他的F(L)<0，这时的L无法继续增大，即这个L就是我们期望的最优解，之后的L会使得无论哪种方案都会造成F(L)<0.而我们已经知道，F(L)<0是没有任何意义的，因为此时的L值根本取不到。

最后一次提醒，我们的目标是R！！！

如果现在你觉得有些晕的话，那么我要提醒你的就是，千万不要把F值同R值混淆。F值是根据我们的变形式求的D数组来计算的，而R值则是我们所需要的真实值，他的计算是有目标式决定的。F值只是提供了一个证据，告诉我们真正最优的R值在哪里，他与R值本身并没有什么必然的联系。

根据这样的一段性质，很自然的就可以想到二分L值，然后验证是否存在一组解使得F(L)>0，有就移动下界，没有就移动上界。

所有的01分数规划都可以这么做，唯一的区别就在于求解时的不同——因为每一道题的限制条件不同，并不是每一个解都是可行解的。比如在普通的数组中，你可以选取1、2、3号元素，但在生成树问题中，假设1、2、3号元素恰好构成了一个环，那就不能够同时选择了，这就是需要具体问题，具体分析的部分。

二分是一个非常通用的办法，但是我们来考虑这样的一个问题，二分的时候我们只是用到了F(L)>0这个条件，而对于使得F(L)>0的这组解所求到的R值没有使用。因为F(L)>0,我们已经知道了R是一个更优的解，与其漫无目的的二分，为什么不将解移动到R上去呢？求01分数规划的另一个方法就是

，他就是基于这样的一个思想，他并不会去二分答案，而是先随便给定一个答案，然后根据更优的解不断移动答案，逼近最优解。由于他对每次判定使用的更加充分，所以它比二分会快上很多。但是，他的弊端就是需要保存这个解，而我们知道，有时候验证一个解和求得一个解的复杂度是不同的。二分和Dinkelbach算法写法都非常简单，各有长处，大家要根据题目谨慎使用。

模版题：POJ - 2976 Dropping tests

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1010
double u[maxn], v[maxn], d[maxn];
double Sum;
int n, k;

bool judge(double mid) {

for(int i = 0; i < n; i++)
d[i] = u[i] - mid * v[i];
sort(d, d + n);
double t = 0;
for(int i = 0; i < n - k; i++)
t += d[n - i - 1];
return t >= 0;
}

double solve() {
double l = 0, r = Sum;
while(r - l > 1e-6) {
double mid = (l + r) / 2;
if(judge(mid))
l = mid;
else
r = mid;
}
return l;
}

int main() {
while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF && n + k) {

Sum = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%lf", &u[i]);
Sum += u[i];
}
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%lf", &v[i]);

printf("%d\n",(int)((solve() + 0.005) * 100));
}
return 0;
}