BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

Sample Output

2/5

0/1

1/1

4/15

【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。

询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；

60%的数据中 N,M ≤ 25000；

100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

Source

版权所有者：莫涛

解题：莫涛，莫队算法，一种分块暴力算法

题目询问任意区间内选出两只袜子同色的概率，这个很好求，首先是假设区间长度为$L$，那么有$\binom{L}{2}$种选择方法。

我们假设此区间有$m$种颜色的袜子，且每种颜色的袜子$S$只，那么选出两只同色袜子的方案数就是$\sum_{i = 1}^{m}S_i$

然后展开得到

\[\frac{\sum_{i = 1}^{m}{S_i}^2 - L}{L\times (L-1)}\]

所以我们只要维护各种颜色袜子的数量及其平方和即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50010;
LL color[maxn],cnt[maxn],up[maxn],down[maxn],ret;
int pos[maxn];
struct QU {
int L,R,id;
bool operator<(const QU &rhs) const {
return pos[L] == pos[rhs.L]?R < rhs.R:pos[L] < pos[rhs.L];
}
} Q[maxn];
void update(int x,int delta){
ret -= cnt[color[x]]*cnt[color[x]];
cnt[color[x]] += delta;
ret += cnt[color[x]]*cnt[color[x]];
}
int main() {
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
memset(cnt,0,sizeof cnt);
int bk = ceil(sqrt(1.0*n));
for(int i = 1; i <= n; ++i){
scanf("%lld",color + i);
pos[i] = (i-1)/bk;
}
for(int i = 0; i < m; ++i){
scanf("%d%d",&Q[i].L,&Q[i].R);
Q[i].id = i;
}
sort(Q,Q + m);
int L = 1,R = 0;
for(int i = 0; i < m; ++i){
int id = Q[i].id;
if(Q[i].L == Q[i].R){
up[id] = 0;
down[id] = 1;
continue;
}
for(int j = R + 1; j <= Q[i].R; ++j) update(j,1);
for(int j = R; j > Q[i].R; --j) update(j,-1);
R = Q[i].R;
for(int j = L; j < Q[i].L; ++j) update(j,-1);
for(int j = L-1; j >= Q[i].L; --j) update(j,1);
L = Q[i].L;
up[id] = ret - (Q[i].R - Q[i].L + 1);
down[id] = 1LL*(Q[i].R - Q[i].L)*(Q[i].R - Q[i].L + 1);
LL gcd = __gcd(up[id],down[id]);
up[id] /= gcd;
down[id] /= gcd;
}
for(int i = 0; i < m; ++i)
printf("%lld/%lld\n",up[i],down[i]);
}
return 0;
}

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