【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十六课 Ax=b的解、最小二乘法与矩阵

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

基本子空间与投影矩阵

上一节课我们已经了解了投影矩阵 projection matrix, P=A(ATA)−1ATP=A(A^TA)^{-1}A^T

结合我们过去学习到的四个基本子空间的内容，对于PbPb即b的投影：

- 若b在A的column space 则其投影为其本身b

- 若b垂直于A的column space则其投影为一个点，没有长度，为0




这是一张很重要的图片，向量bb的投影在AA 的column space，error vector的投影在left null space上，我们知道PP，可以将bb 投影到pp，那么一个什么样的投影矩阵把bb 投影到了ee？因为column space与left null space正交补，所以他们共同组成了整个空间，II 的column space就是整个空间，I−PI-P就是把b投影到e的矩阵，它和PP有意义的性质。

最小二乘 least square

继续上一节课的内容，找到过三个点的直线就是解三个方程，但此方程无解，此时我们要找到最接近的解“最优解”，我们要使得解最优即误差最小，定义误差为Ax−b=eAx-b=e的模长的平方即∥Ax−b∥2=∥e∥2=e21+e22+e23\|Ax-b\|^2=\|e\|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2

这里使用平方的原因一是排除开根号带来的非线性运算，一是方便利用偏导数求解最小值。所以这里如果使用偏导数我们也能得到关于最优解的方程，用矩阵的方法求解

Ax^=PbA\hat x=Pb

得到的方程是一样的，求解即可得出结果

我们脑海中要有两张图：

一个是我们要拟合的直线的那张图，各个点在我们得到的直线上的投影为p，偏差为e。

另一个是之前我们的column space与left null space的图，b向量的投影p向量在column space而e 向量在left null space，二者正交

证明ATAA^TA可逆

求解ATAx^=ATbA^TA\hat x=A^Tb时，方程有解的条件为ATAA^TA可逆，实际上只有当AA的column vector线性无关时可逆，求证：

要证明ATAA^TA可逆，即证ATAx=0A^TAx=0时，x只能为零向量

两边同乘xTx^T得

xTATAx=0x^TA^TAx=0

⇒(Ax)T(Ax)=0\Rightarrow (Ax)^T(Ax)=0

⇒Ax=0\Rightarrow Ax=0，由于A中各列线性无关

⇒x=0\Rightarrow x=0

最后老师引入标准正交向量组：它们肯定线性无关

PS：另一位仁兄的笔记

http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13759193