URAL 1204 Idempotents

扩展欧几里得

题意：

给你一个数n，输出所有符合条件的正整数x，其中n=pq，p和q是两个不同的质数

条件：x*x%n=x

数据范围:

样例数<=1000，n<=10^9

思路：

原本打算O(√n)卡过去的，但数据组数卡了我...

首先认为题目的模就是模运算而不是同余，这样的话，不存在x>=n的答案，因为x*x模了n之后的值不可能大于等于n，x也不会是负数，因为x*x是正的，模n得到的答案不会是负。然后下面还会证明答案就是固定四个

x*x%n=x，就是存在整数k使得，x*x=kn+x，再变形变成x(x-1)=kpq，这个式子就有意思了。去除x是0或1这些特殊情况，这个等式意味着x整除p，x-1整除q，或者x整除q，x-1整除p。

就第一种的情况分析，得到x=sp，x-1=tq(s和t是整数)。相减得sp-tq=1，扩展欧几里得！求出s和t之后，调整s(加q或减q)使得它满足0<=s<q，然后这时候的sp就是一个答案。

你可以发现这时候s向上调整会使得sp>=n，s向下调整会使sp是负数。因此这里有且只会贡献一个解，而另一个情况会贡献另一个解，加上0和1，一共4个解，不存在重复解

先打好了质数表再分解n，暴力分解应该会TLE

总结：把式子变形，然后扩展欧几里得，调整系数得出答案