神奇的部分和

今年国家集训队的题目太难了（对于我来说），所以我打算去做去年的。没想到第一题就收获巨大了（对于我来说）。

题目是codeforces上的263E。

虽然这题暴力搞搞，弄几个部分和来算也是可以的，但是，显然这样做会非常繁琐。

于是我在提交记录里找到了这样一个神奇的方法。下面就简单记录一下。

看下面那幅图中的下面那幅图（图中图），就是单元格A19:I27。



用黑线围住的就是我们要算的那坨东西的形状。假设我们现在要算f(x, y)，k=4，这里(x,y)表示的就是F24这个格子。

我们观察一下，每个单元格右下方的所有数字之和，恰好就是该单元格数字乘上的权值（就是题目中的k-|i-x|-|j-x|）。比如说E24，右下角所有数字之和恰好就是3！

有了这个特征，接下来就简单了，代码非常好写。

这里再想想，如果我们乘的权值是1而不是k-|i-x|-|j-x|，我们也可以构造出这种矩阵，这里就是上图中的上面那幅图。

这里我们可以用些小技巧来画这个图：



当然，如果乘的权值是1，我们还可以把图旋转45度（曼哈顿距离和切比雪夫距离是可以互相转换的，原图中的点\((i,j)\)，变为新图的点\((i+j-1, n-i+j)\)，图的大小变为\((n+m-1)^2\)），然后就变成算矩形的部分和了。