[知识点]最近公共祖先

1、前言

　　最近公共祖先（LCA），作为树上问题，应用非常广泛，而求解的方式也非常多，复杂度各有不同，这里对几种常用的方法汇一下总。

2、基本概念和暴力算法

　　最近公共祖先，顾名思义，指的是两个点的公有祖先中，最近的那个点。它显然不会作为一个单独的知识点拿出来考，但是在很多题目中，出现的频率很高，不同场合用不同的方法。先考虑最简单的做法。找祖先，显然是从所查询的两个点从下往上爬，直到两个点出现第一次重叠时，就是最近公共祖先了。首先我们预处理出所有点的深度及父亲节点。由于两个点深度可能不同，首先我们要保证深度大的点先往上爬到与另一个点深度相同的地方，然后两个点同时向上爬，直到出现重叠。代码如下：

int LCA(int x, int y)
{
　　if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
　　for (; dep[x] != dep[y]; x = fa[x]);
　　for (; x != y; x = fa[x], y = fa[y]);
　　return x;
}

3、倍增LCA

　　倍增这个概念听名字很好理解，知道倍增思想的，直接运用到求LCA并不是不好理解。首先我们需要预处理出所有节点的各种祖宗关系，，p[i][j]记录节点i的第2^j个祖先，j = 0时，就是他的父亲节点。同上述暴力算法，我们从询问的两个点开始，往他们的这些倍数祖先向上爬，若第2^i个祖先不同，则从第2^(i - 1)个祖先开始，从头开始倍增。时间复杂度为 log 级别。代码如下：

void init()
{
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (p[i][j - 1] != -1) p[i][j] = p[p[i][j - 1]][j - 1];
}

int query(int x, int y)
{
int o;
if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
for (o = 0; (1 << o) <= dep[x]; o++);
o--;
for (int i = o; i >= 0; i--)
if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) x = p[x][i];
if (x == y) return x;
for (int i = o; i >= 0; i--)
if (p[x][i] != -1 && p[x][i] != p[y][i]) x = p[x][i], y = p[y][i];
return p[x][0];
}

　　P.S. 之前我一直很傻逼的不清楚，如果最近公共祖先出现在了第2^(i - 1)个祖先到底2^i个祖先之间怎么办啊。

4、树链剖分LCA

　　树链剖分详细概念见（/article/6239479.html）。为什么树链剖分可以跑LCA？原文提得很清楚，在把重链划分出来之后，可以确定的是重链要么单独一条存在，要么必定相连，故可以用线段树来维护。

　　树链剖分的优势和倍增是一样的，都可以跳过一些不必要的部分，若当前点的重链顶端不是父亲节点，可以利用线段树直接从当前点跳到顶端。这样可以达到减小复杂度的目的。

　　这里写出树链剖分DFS预处理和LCA核心代码的最新版本。代码如下：

void DFS(int o, int d)
{
dep[o] = d, son[o] = 1;
for (int x = h[o]; x; x = edge[x].next)
{
int v = edge[x].v;
if (v == fa[o]) continue;
DFS(v, d + 1), son[o] += son[v], hv[o] = !hv[o] || son[hv[o]] < son[v] ? v : hv[o];
}
}

void DFS2(int o, int t)
{
top[o] = t;
if (!hv[o]) return;
DFS2(hv[o], t);
for (int x = h[o]; x; x = edge[x].next)
{
int v = edge[x].v;
if (v != hv[o] && v != fa[o]) DFS2(v, v);
}
}

int query(int x, int y)
{
int f1 = top[x], f2 = top[y];
while (f1 != f2)
{
if (dep[f1] < dep[f2]) swap(f1, f2), swap(x, y);
x = fa[f1], f1 = top[x];
}
return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}

（注释：dep为节点深度，son为儿子节点个数，hv为重儿子节点，top为重链顶端，fa为父亲节点）

5、Tarjan LCA

（暂略）