noip2014 子矩阵 （动态规划+位运算）

P1914子矩阵
Accepted

标签：NOIP普及组2014

描述

给出如下定义：
子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与 列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第 2、4 行和第 2、4、5 列交叉位置的元素得到一个 2*3 的子矩阵如右图所示。



相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个 n 行 m 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 r 行 c 列的 子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

格式

输入格式

第一行包含用空格隔开的四个整数 n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的 n 行，每行包含 m 个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个 n 行 m 列的矩阵。

输出格式

输出共 1 行，包含 1 个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

样例1

样例输入1[复制]

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

样例输出1[复制]

6

样例2

样例输入2[复制]

7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

样例输出2[复制]

16

限制

对于 50%的数据，1 ≤ n ≤ 12, 1 ≤ m ≤ 12, 矩阵中的每个元素 1 ≤ a[i][j] ≤20；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 16, 1 ≤ m ≤ 16, 矩阵中的每个元素 1 ≤ a[i][j] ≤1000,1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ c ≤ m。
时间限制：每一组测试数据1s。

提示

【输入输出样例 1 说明】

该矩阵中分值最小的 2 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行与第 1 列、第 3 列、 第 4 列交叉位置的元素组成，为

675566

，其分值为 |6 − 5| + |5 − 6| + |7 − 5| + |5 − 6| + |6 − 7| + |5 − 5| + |6 − 6| = 6。
【输入输出样例 2 说明】

该矩阵中分值最小的 3 行 3 列的子矩阵由原矩阵的第 4 行、第 5 行、第 6 行与第 2 列、第 6 列、第 7 列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9957888810

来源

NOIP2014 普及组

解析：动态规划+位运算。

         基本思路：先确定行，再对列进行动态规划。

         1.假设 n=3，r=2，以二进制来表示每一行，则：

            0 1 1  ：表示选定1、2行

            1 0 1  ：表示选定1、3行

            1 1 0  ：表示选定2、3行

            可以看到，所有的情况即为在长度为 n 的二进制中，存在 r 个 1 的情况。

            这就让我想起了曾经做过的 poj2435，题意是这样的：给定一个数 x，求与 x 在二进制下含有相同个数的 1 的数中最小的数。

           正好适合这道题。代码见下：

                            x=n&(-n),t=n+x;

                            ans=t|((n^t)/x)>>2;

          此代码详细解析：http://blog.csdn.net/w57w57w57/article/details/6657547 

        

       2.确定行，对列进行动态规划。

         用 f[i][j] 表示以第 i 列结尾的 r 行 j 列的子矩阵的最优值，则：

           初始化 f[i][1]

           f[i][j]=max{f[k][j-1]+f[i][1]+get(k,i)}

          
代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 16
using namespace std;

int n,m,r,c,a[maxn+5][maxn+5];
int b[maxn+5],f[maxn+5][maxn+5];
int ans=2000000000;

void work(int s)
{
int i,j,k,x,p;
for(b[0]=i=0;i<n;i++)
if(s&(1<<i))b[++b[0]]=i+1;

memset(f,90,sizeof(f));

for(i=1;i<=m;i++)
for(f[i][1]=0,j=2;j<=b[0];j++)
f[i][1]+=abs(a[b[j]][i]-a[b[j-1]][i]);

for(j=2;j<=c;j++)
for(i=j;i<=m;i++)
for(k=j-1;k<i;k++)
{
for(x=0,p=1;p<=b[0];p++)x+=abs(a[b[p]][k]-a[b[p]][i]);
f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+f[i][1]+x);
}
for(i=c;i<=m;i++)ans=min(ans,f[i][c]);
}

int main()
{
int i,j,k;
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);

int s=0,e=0,x,t;
for(i=0;i<r;i++)s=s|(1<<i);
for(i=n-r;i<n;i++)e=e|(1<<i);
while(s<=e)
{
work(s);
x=s&(-s),t=s+x;
s=t|((s^t)/x)>>2;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}