背包问题

来自著名的背包九讲，算是笔记吧。

n件物品，背包体积V、质量U，物品体积a[i]、质量b[i]、价值c[i]，求最大价值。

1. 01背包

一种物品只有一件，可选可不选

f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-a[i]]+c[i])

i 顺序，v 逆序，空间复杂度可以降低一维

2. 完全背包

每种物品无限多

f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-a[i]]+c[i])

01背包的v 也改为顺序即可，空间一维即可

或者虽然物品无限多，但是由于背包有限，所以每种物品可选数量都有上限，可以转化为如下多重背包

3. 多重背包

每种物品数量有限

①一种物品可选k件，拆分为k件物品，然后01背包解决

②二进制拆分，转化为01背包，同上一种都是拆分，效率高了很多

4. 混合背包

以上三种问题的混合，if 条件判断即可。

5. 二维背包

物品有两维属性

f[i][v][u] = max(f[i][v][u], f[i][v-a[i]][u-b[i]]+c[i])

多一维多一层循环即可，或者可以同01背包一样空间复杂度降低一维。

6. 分组背包

每组最多只能选一个

f[k][v] = max(f[k-1][v], f[k-1][v-a[i]]+c[i])<span style="white-space:pre">	</span>//i属于第k组

三重循环，组，属性，i 属于组

7. 有依赖的背包问题

略

8. 泛化物品

略

9. 变化

略