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最短路

2015-10-30 16:01 281 查看

最短路问题包括：单源最短路、每两点最短路。

一、单源最短路：Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法

    1、Dijkstra算法 --- 只能处理正边权图

        (1) 原始Dijkstra算法：O(n^2)。

        (2) 使用优先队列优化的Dijkstra算法：O(E*logE)：

            想象成从源点有一水柱喷涌而出，水流经过若干条带权的边后（权值越大，流经时间越长），整张地图分成有水部分和无水部分，从有水部分中选取一个距离源点最短的点（当然这个点需要从来没有被选取过），以这个点为中心，水流又流向其它无水部分节点，如此不断更新地图。这里的“从有水部分中选取一个距离源点最短的点”需要用到优先队列。

    2、Bellman-Ford算法：O(VE) --- 优点：可以处理负边权图

        负环定义：一个环路中所有路径的权值之和为负，称为负环。

        伪代码 Start

            （初始化）起点距离：0，其他点距离：INF // 不能太大，防止溢出

            for n = [1 ~ N) //最多做n-1次，如果做了n-1次之后还有点的距离没更新，那么说明图存在负环。

                for e = [1 ~ E]

                    d[e.v] = min ( d[e.v] , d[e.u] + cost[e] ) //称为松弛操作

            for e = [1 ~ E]

                if ( d[e.v] > d[e.u] + cost[e] ) return false; //存在负环

            return true; //不存在负环

        伪代码 End

3、SPFA算法：O(kE) --- 基于Bellman-Ford算法优化，可以处理负边图，并且复杂度较小

用一个先进先出的队列维护，先计算每个点的估计距离，如果发现这个值能再次更新，那么把它重新加入队列，以便检查它相邻的点。

    伪代码 Start

        (1)（初始化）起点距离：0，其他点距离：INF，新建队列que：推入起点。
        (2) 从队首取出top，标记top已出队（负环检查：同时对top出队次数进行检查，如果大于n，说明出现负环，算法结束）。遍历top所连的边e，如果e.to可以更新，那么更新e.to，检查e.to是否在队列中，如果不在加入队列中。

        (3) 重复步骤2，直到队列为空。

    伪代码 End

二、每两点最短路：Floyd算法 --- 图可以是有向图或者无向图，可以存在负边，但是不能存在负环。

    伪代码 Start

        （初始化）d[i][i]：0，其他两点间距离：INF //不能太大，防止下文 d[i][k] + d[k][j] 溢出

            for k = [0,n)

                for i = [0,n)

                    for j = [0,n)

                        d[i][j] = min( d[i][j] , d[i][k] + d[k][j] ); //可以加个pre数组，同时记录路径。

    伪代码 End

Floyd算法中边权可正可负，只要图中不存在负环都可以得出正确答案。关于Floyd算法的负环判定，见：Floyd求最小环，只要求出的最小环是正的，就不存在负环。

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标签： 图论

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