n皇后

//一个很有研究意义的算法，借鉴贺老师的程序与讲解，珍惜这个资源,在此感谢老师  ^-^

/*在8×8的棋盘上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意的两个皇后不能处在同一行，同一列，或同一斜线上。可以把八皇后问题拓展为n皇后问题，

即在n×n的棋盘上摆放n个皇后，使其任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

首先需要对棋盘进行描述。直观地，棋盘可以用二维数组表示，有皇后的棋格对应数组元素值为1，无皇后的棋格对应数组元素值为0。

但这种存储结构并不是最简单有效的选择。

图8.21中左边部分给棋盘的行、列编了号，提供的摆放方法，就是问题的一个解。

右边的部分，将各行上皇后所在的列数记录下来，用这8个数字（4, 6, 8, 2, 7, 1, 3, 5），也构成了对问题解的一种描述。



由此可以看出，可以定义一个一维数组int x
;，用x[i]的值表示第i行上皇后所在的列数，n皇后问题的解可以用（x[1], x[2], ….. x
）的形式描述。

解决了数据表示的问题，设计数据处理的方法。这里要用回溯的策略，设计计算机对n皇后问题的求解方法。以4皇后为例，

如图8.22所示，在图8.22(a)中，第1行第1列上放置一个皇后，图8.22(b)中确定第2行的可能放法，

在尝试第1列、第2列由于相互攻击而放弃之后，确定在第3列放置可以继续，在图8.22(c)中继续对第3行进行考察，

发现将所有4列都尝试过了，也没有办法将皇后安排一个合适的位置，对第4行做任何的尝试都没有意义，这时产生回溯，

结果是在图8.22(d)中将第2行的皇后安排到第4列，然后第3行的暂时可以放在第2列，

在图8.22(e)中试着确定第4行的皇后，却发现无解再次回溯，只能够如图8.22(f)所示将第1行的皇后放到第2列，

再经图8.22(g)、(f)之后找到4皇后问题的一个解，那就是图8.22(g)的（2, 4, 1, 3）。



在图8.23中，给出了求出4皇后问题所有解的完整过程的描述。图中（1 * * *)对应图8.22(a)中第1行皇后安排在第1列，

其他行待定的状态，接下来的（1 3 * *）对应了图8.22(b)中第2行皇后安排在第3列的状态。可以判断出在这个状态下，

继续尝试并不能够完成求解，于是发生回溯（其下方的B代表回溯），于是下一个尝试的状态将是（1 4 * *），……。

将这样的过程继续下去，能够找出4皇后问题的所有解（2 4 1 3）和（3 1 4 2），如图8.23中两个加网格背景的结点。



*/

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <malloc.h>

void nQueens(int *x, int n);            /*求解n皇后问题*/
int place(int *x, int k);               /*判断是否可以在第k行第x[k]列摆放皇后*/
void printSolution(int *x, int n);      /*输出求解结果*/

int main()
{
printf("欢迎探讨八皇后问题，请任意输入一个整数,以列出算法:");
int n;
int *x;                             /*存放求解结果的数组首地址*/
scanf("%d", &n);
x=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));  /*动态分配数组空间， x[0]空闲*/
nQueens(x, n);
return 0;
}

/*如果一个皇后能放在第k行第x[k]列，则返回真(1)，否则返回假(0)*/
int place(int *x, int k)
{
int i;
/*对前k-1行，逐行考察*/
for(i=1; i<k; i++)
{
/*如果前k-1行中有某行的皇后与第k行的在同一列或同一斜线，返回0*/
if((x[i]==x[k])||(fabs(x[i]-x[k])==fabs(i-k)))
return 0;
}
/*能执行下一句，说明在第k行第x[k]列摆放皇后，不会互相攻击*/
return 1;
}

/*求解在n×n的棋盘上，放置n个皇后，使其不能互相攻击*/
void nQueens(int *x, int n)
{
int k;
k = 1;        /*k是当前行*/
x[k] = 0;     /*x[k]是当前列，进到循环中，立刻就会执行x[k]++，而选择了第1列*/
while(k>0)    /*当将所有可能的解尝试完后，k将变为0，结束求解过程*/
{
x[k]++;                          /*移到下一列*/
while(x[k]<=n && !place(x, k))   /*逐列考察，找出能摆放皇后的列x[k]*/
x[k]++;
if(x[k]<=n)                      /*找到一个位置可以摆放皇后*/
{
if(k==n)                     /*是一个完整的解，输出解*/
printSolution(x, n);
else  /*没有完成最后一行的选择，是部分解，转向下一行*/
{
k++;     /*接着考察下一行*/
x[k]=0;  /*到循环开始执行x[k]++后，下一行将从第1列开始考察*/
}
}
else  /*对应x[k]>n的情形，这一行已经没有再试的必要，回溯到上一行*/
k--;  /*上一行在原第x[k]列的下1列开始考察*/
}
}

/*输出求解结果*/
void printSolution(int *x, int n)
{
int i, j;
for (i = 1; i <= n; i++)    /*输出第i行*/
{
for (j=1; j<=n; j++)
{
if (j == x[i])    /*第x[i]列输出Q，其他列输出*号 */
printf("Q");
else
printf("*");
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}

关键:

定义一个一维数组int x
;，用x[i]的值表示第i行上皇后所在的列数，n皇后问题的解可以用（x[1], x[2], ….. x
）的形式描述。

解决了数据表示的问题，设计数据处理的方法。这里要用回溯的策略，设计计算机对n皇后问题的求解方法。以4皇后为例，

如图8.22所示，在图8.22(a)中，第1行第1列上放置一个皇后，图8.22(b)中确定第2行的可能放法，

在尝试第1列、第2列由于相互攻击而放弃之后，确定在第3列放置可以继续，在图8.22(c)中继续对第3行进行考察，

发现将所有4列都尝试过了，也没有办法将皇后安排一个合适的位置，对第4行做任何的尝试都没有意义，这时产生回溯，

结果是在图8.22(d)中将第2行的皇后安排到第4列，然后第3行的暂时可以放在第2列，

在图8.22(e)中试着确定第4行的皇后，却发现无解再次回溯，只能够如图8.22(f)所示将第1行的皇后放到第2列。

输出结果如下: