线段树学习笔记

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
以下笔记摘自lcomyn神犇博客（http://blog.csdn.net/lcomyn/article/details/40822229）
1.以单点更新，求区间最小值为例

自下而上更新：

[cpp] view
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void updata(int i)  

{  

node[i].value=min(node[i*2].value,node[i*2+1].value);//代码核心，不同程序基本只有此处不同。  

}  

建树：  

 void build(int i,int l,int r)//建立区间为[l,r]（注意为闭区间）  

{  

if (l==r)//已经找到叶子节点  

 {  

   node[i].value=a[l];  

   return;  

 }  

build(i*2,l,(l+r)/2);//建立左子树（注意区间范围）  

build(i*2+1,(l+r)/2+1,r);//建立右子树（注意区间范围）  

updata(i);//更新节点信息，注意先查找后更新。  

}  

单点更新：

[cpp] view
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void insert(int i,int l,int r,int x,int y)  

{  

int mid;  

if ((r==l)&&(l==x))//已查询到此节点  

 {  

    node[i].value+=y;//更新  

   return;  

 }  

mid=(l+r)/2;  

if (x<=mid)  

 insert(i*2,l,mid,x,y);//在左子树  

else  

 insert(i*2+1,mid+1,r,x,y);//在右子树  

updata(i);//更新  

}

2.对于单点更新线段树中第几个非空叶节点（如joseph问题，POJ2828 Buy tickets等)，我们可以用node[i].value来记录该区间有几个非空节点，查询时比较x与node[i*2].value即可。

[cpp] view
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void insert(int i,int l,int r,int x)  

{  

if (l==r)  

 {  

   node[i].value=0;//修改  

   ans=l;  

   return;  

 }  

if (x<=node[i*2])//左子树中  

 insert(i*2,l,mid,x);  

else//右子树中，注意减去左子树中数目。  

 insert(i*2+1,mid+1,r,x-node[i*2]);  

updata(i);  

}   

处理[x,y]询问（PS:由于x,y不发生改变，亦可用全局变量）  

 void query(int i,int l,int r,int x,int y)//在节点i的[l,r]区间内查询[x,y]  

{  

int mid;  

if ((x<=l)&&(y>=r))//如果区间包含于其中，查询即可  

 {  

   ans=min(ans,node[i].value);  

   return;  

 }  

mid=(l+r)/2;  

if (x<=mid)//左子树有交集  

 query(i*2,l,mid,x,y);  

if (y>mid)//右子树有交集  

 query(i*2+1,mid+1,r,x,y);  

}   

对于区间修改（给区间整体加减乘实数除一个定值），区间查询类问题，我们可以对每一个节点设置一个delta，记录更新值，而不进行实质性更新，每当查询或询问到此节点时，在对delta进行下放，下放至左右子树，这样就保证了程序的效率；

建树，自下而上更新代码相同
1.区间修改，区间最值：

释放标记 

[cpp] view
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void paint(int i,int  a)  

{  

     node[i].value+=a;  

     delta[i]+=a;  

}  

标记下放 

[cpp] view
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void pushdown(int i)  

{  

     paint(i*2,delta[i]);//左子树  

     paint(i*2+1,delta[i]);//右子树  

     delta[i]=0;//释放delta  

}  

区间更新[x,y]

[cpp] view
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void insert(int i,int l,int r,int x,int y,int a)  

{  

   int mid; mid=(l+r)/2;  

   if (x<=l&&y>=r)  

     {  

        paint(i,a);//修改该区间的value，记录delta；  

        return;  

     }  

   pushdown(i);//标记下放。  

   if (x<=mid)  

     insert(i*2,l,mid,x,y,a);  

   if (y>mid)  

     insert(i*2+1,mid+1,r,x,y,a);  

   updata(i);  

}  

处理[x,y]询问（PS:由于x,y不发生改变，亦可用全局变量）
 void query(int i,int l,int r,int x,int y)//在节点i的[l,r]区间内查询[x,y]

[cpp] view
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{  

int mid;  

if ((x<=l)&&(y>=r))//如果区间包含于其中，查询即可  

 {  

   ans=min(ans,node[i].value);  

   return;  

 }  

 pushdown(i); //标记下放  

mid=(l+r)/2;  

if (x<=mid)//左子树有交集  

 query(i*2,l,mid,x,y);  

if (y>mid)//右子树有交集  

 query(i*2+1,mid+1,r,x,y);  

}   

2.值得一提的是，当区间最值改为区间求和时，node[i]应加上a*区间长度，所以paint和pushdown应多传递l和r两变量，对value值进行修改时 node[i].value+=a;改为node[i].value+=a*(r-l+1);value值不变
 3.对于给区间中的每一个值开平方抑或乘方等（即更新值不同），只能立即对标记下放至叶节点，但必须对更新条件加以判断，否则TLE