POJ 1050 最大子矩阵和

POJ 1050 最大子矩阵和

题目：http://poj.org/problem?id=1050

题意：给一个N*N的矩阵，求一个子矩阵，使得该子矩阵中的数字之和为所有子矩阵中最大的。

思路：这里给出了两种思路：

1.枚举所有可能的组合。

2.dp,其实这是根据一维的最大子段和改编的题目

枚举：

首先计算出所有的A[0][0]至A[i][j]这样的子矩阵的和，当然不是一个个的计算，有一点点小的技巧，具体参见代码。

然后利用四重循环枚举所有可能的矩阵的左上角顶点(i,j)和右下角顶点(ii,jj),则这个子矩阵的和即为A[ii][jj]-A[i-1][jj]-A[ii][j-1]+A[i-1][j-1].这样找出所有的和中最大的值即为所求。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=107;
int a[maxn][maxn];

int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
if(i==0) a[i][j]+=a[i][j-1];
else if(j==0) a[i][j]+=a[i-1][j];
else a[i][j]+=(a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]);
}
//枚举所有可能
int ans=a[1][1];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
for(int ii=i;ii<=n;ii++)
for(int jj=j;jj<=n;jj++)
if(ii==i&&jj==j) continue;
else ans=max(ans,a[ii][jj]-a[i-1][jj]-a[ii][j-1]+a[i-1][j-1]);
printf("%d\n",ans);
}

dp思路：

其实就是每次选择两行i,j，并将第i至第j行间的元素全部压缩至一行中，这样问题就变成了一维数组的最大子段和问题，其状态转移方程为

p[i]=p[i-1]>0? p[i-1]+p[i]:p[i];

注意要枚举所有合理的i,j组合，故每次选择的i和j的顺序十分重要，此代码中的i,j枚举顺序可以避免重复运算，减少时间开销。

代码：

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=107;
int a[maxn][maxn];

int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int ans=-128;
int tmp;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
tmp=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",a[i]+j);
if(tmp<0) tmp=a[i][j];
else tmp+=a[i][j];
if(tmp>ans)
ans=tmp;
}
}
for(int i=1;i<n;i++)            //每次选择i,j两行之间的合并为一行,注意i,j选择的顺序很重要，这
for(int j=i+1;j<=n;j++)     //样选择可以尽量减少运算
{
tmp=0;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
a[i][k]+=a[j][k];
if(tmp<0) tmp=a[i][k];
else tmp+=a[i][k];
if(tmp>ans) ans=tmp;
}
}
printf("%d\n",ans);
}