费用流做二分图最大权匹配

费用流二分图最大权匹配的一个性质

使用费用流计算二分图最大权匹配，考虑每次只增广一条最短路径（所以二分图上边权取负）。

我们会发现每次增广，二分图中匹配边边权总和会增加ΔL

其中ΔL=费用流增广时求出的最短路长度

用ΔLi表示第i次增广时匹配边边权和的变化量

我们会发现其满足以下性质ΔL1≤ΔL2≤⋯≤ΔLn

为什么呢？

我们考虑相邻两次增广ΔLx和ΔLx+1

因为在第一次增广后需要建立反向边，所以第二次增广可能会经过第一次增广建立的反向边。

我们分情况讨论

如果第二次增广没有经过第一次增广所建立的反向边，很显然ΔLx≤ΔLx+1

如果第二次增广经过了第一次增广时所建立的反相边，则是以下情况



其中绿色路径表示第一次增广时的路径，蓝色路径表示第二次增广的路径
X表示两次增广共同经过的边的长度（边权)，a,b,c,d表示增广时各个路径的长度

综上所述，就是这样啦。

说到这里，我们可以发现：使用费用流做二分图最大权匹配，第i次增广后的总费用，表示在这个二分图中选出i条边能得到的最大边权和。

而这个边权和的变化量是单调的

以上结论（增广时最短路长度的变化量单调）是否可以推广到一般图，请自行思考