自然对数e
2015-10-28 22:52
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上学时课本里提到过,有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数,称为自然对数。当时老师并没有讲明白这是个啥东西。并且还有一个很奇怪的极限,也是靠记忆的,完全不理解。
\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]
其实,e的来源是这样的。
我们都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以年周期来算的话,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;当然计息周期愈短,本利和就会愈高。有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间(理论上来说),会发生什么状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中,所以e可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的。
把上面的公式想象成利息,分分钟就理解了。
\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]
其实,e的来源是这样的。
我们都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以年周期来算的话,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次;当然计息周期愈短,本利和就会愈高。有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间(理论上来说),会发生什么状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中,所以e可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的。
把上面的公式想象成利息,分分钟就理解了。
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